קנטור ובעיית האינסוף
אינסוף הוא לא מספר במובן המוכר לנו, כמו 3, 7, 5.29, 200, 100000009995 ועוד. המתמטיקאי גיאורג קטנור שהמציא את תורת הקבוצות, הכליל את מושג המספרים המונים וצירף אליהם גם "מספרים מונים אינסופיים" שלהם הוא קרא "עוצמות". באופן אינטואיטיבי ולגמרי לא מדויק, "עוצמה" של קבוצה היא מספר איבריה. למשל, העוצמה של {1,2,3} היא 3 ואילו העוצמה של קבוצת חברי הכנסת היא 120. כעת, נסתכל על קבוצות עם הרבה יותר איברים: כמה מספרים טבעיים (לא שליליים) יש? כמה מספרים שלמים יש? כמה מספרים ממשיים יש? כאן נכנסת ההכללה של קנטור לתמונה. מה זו בעצם ספירה? נניח שילד קטן הולך לגן החיות ורואה כלוב עם נמרים וכלוב עם פילים. הוא רוצה לדעת האם מספר הפילים שווה למספר הנמרים. מה הוא עושה? לכל פיל שהוא רואה הוא מרים אצבע, ואז הולך לכלוב של הנמרים ועבור כל נמר שהוא רואה הוא מוריד את אחת האצבעות. אם בסיום התהליך לא נשארה לו אף אצבע מורמת סימן שאכן יש שוויון בין עוצמת קבוצת הפילים לעוצמת קבוצת הנמרים. את מה שעשה הילד הקטן אפשר להכליל: שתי קבוצות A ו B הן שוות עוצמה (כלומר, יש בהן אותו "מספר" איברים) אם ורק אם קיימת התאמה חד-חד-ערכית (לכל איבר מ B מתאים איבר יחיד מ A) ועל B (לא קיים איבר ב B שאין לו מקור מ A). נגדיר יחס שוויון עוצמות (ש"ע) כך: A ש"ע ל B אם ורק אם מתקיים התנאי בהגדרה לעיל. קל להראות שאם A שוות עוצמת ל B אזי B שוות עוצמה ל A, ו A שוות עוצמה לעצמה, ואם A ש"ע ל B ו B ש"ע ל C אזי A ש"ע ל C. ליחס המקיים את 3 התכונות שלעיל קוראים "יחס שקילות". יחס כזה מחלק כל עולם לאוסף של מחלקות שקילות. במקרה שלנו, כל הקבוצות שהן ש"ע מהוות מחלקת שקילות. למחלקת השקילות שמכילה את {א,ב} קוראים 2, למחלקת השקילות שמכילה את {א,ב,ג,ד} קוראים 4 וכן הלאה. אם כן, מהיום אימרו - העוצמה 4 היא התכונה המשותפת לכל הקבוצות ששוות עוצמה לקבוצה {א,ב,ג,ד}. קנטור הראה שאין אף קבוצה סופית ששוות עוצמה לקבוצת הטבעיים. לעוצמה של קבוצת הטבעיים הוא קרא א0. כעת, שאלה: מה יש יותר? טבעיים או שלמים? האינטואיציה אומרת שיש יותר שלמים מאשר טבעיים כי לכל מספר טבעי n קיים בנוסף ל n גם n- . נכון? לא. ננסה לטפל בשאלה באופן מתמטי. כאשר שואלים "מה יש יותר" הכוונה היא לאיזה קבוצה יש עוצמה יותר גדולה? אפשר להראות שעוצמת הטבעיים שווה לעוצמת השלמים ע"י מציאת פונקציה חח"ע ועל - או סדרה אינסופית. נסו למצוא זאת לבד. פתרון יצורף בהמשך. באחת הההוכחות היפות שיש קנטור הראה שיש יותר מספרים ממשיים מאשר טבעיים ומאשר רציונליים. לעוצמת הממשיים הוא קרא א. בכך קנטור הצליח לאלף במידת מה את האינסוף המונה.
