סדרת מספרים

[עריסטו]

סדרת מספרים

מגדירים סדרה כך: האיברים הראשונים הם 1 ו - 2. אחר כך, כל איבר הוא המספר הטבעי הקטן ביותר שעדיין לא הופיע בסדרה ושאינו זר לאיבר הקודם. לפי זה האיברים הראשונים הם:

1, 2, 4, 6, 3, 9, 12,...​

הוכיחו: כל מספר טבעי מופיע בסדרה.

 

[ייץ]

נראה לי

ששלב מקדים הוא להראות שכל הזוגיים יופיעו. (לא קשה להראות זאת). מכאן ההוכחה כבר הרבה יותר פשוטה.

 

[slallum]

אני כנראה לא זוכר מה זה "זרים זה לזה"

מספרים זרים זה לזה אלה מספרים שאין להם שום מחלק משותף, לא? כלומר - מספרים אינם זרים זה לזה ברגע שיש להם מחלק משותף אחד לפחות. אז בעצם - ברגע שיש לנו את 2 אין לנו שום בעיות - בנוגע לכפולות של 2 אפשר להיות בטוחים שהם יהיו. בנוגע למספרים ראשוניים - תמיד נגיע לכפולה כלשהי של 2 ומספר ראשוני כלשהו, ואז המספר הבא יהיה המספר הראשוני הזה ;] כמובן שזה ממשיך עבור כל המספרים הראשוניים ולא חובה עבור 2 P: מה, לא?

 

[עריסטו]

למה?

קודם כל לא ברור ממה שכתבת מדוע אנחנו בטוחים שכל הכפולות של 2 יופיעו. חוץ מזה, גם אם זה נכון, התייחסת רק לכפולות של 2 ולמספרים הראשוניים. ומה עם כל המספרים האחרים?

 

[slallum]

ואז

בגלל שכל המספרים הראשוניים יופיעו - אז גם כל הכפולות שלהם יופיעו, ובעצם כל המספרים הראשוניים וכל הכפולות שלהם ו-1 נותן לנו את כל המספרים הטבעיים ;]

 

[עריסטו]

עוד שאלה

האם הטענה הבאה נכונה: אם p הוא מספר ראשוני גדול מ-2, אזי המספר שמופיע בסדרה מייד לפני p הוא 2p, והמספר שמופיע מייד אחרי p הוא 3p.

 

[ייץ]

לא בדקתי זאת בתוכנית מחשב

אך בהחלט אפשרי מקרה שגם p-2 גם ראשוני. וגם לאחר שיופיע המספר 2*(p-2) וגם p-2 וגם 3*(p-2) יתכן שכל המספרים 3,6,9..3*(p-3) הופיעו כבר. אז המספר הבא יהיה 3*p ולאחריו p ולאחריו 2p.

 

[ןן גיל ןן]

פתרון

נפתור בשלבים. 1. מכיוון שזו סדרה שאבריה טבעיים ושונים זה מזה, איברי הסדרה שואפים לאינסוף. 2. מספיק להוכיח שיש אינסוף מספרים זוגיים בסדרה. כי אם יש אינסוף זוגיים, זה מבטיח שכל הזוגיים יופיעו. ואם כל הזוגיים מופיעים, הם יגרמו לכל המספרים להופיע. 3. נניח, בשלילה שיש רק מספר סופי של מספרים זוגיים. כלומר כל המספרים הגדולים מ-M המופיעים בסדרה הם אי זוגיים. ונתבונן באברי הסדרה החל מהמקום שבו כולם גדולים מ- M^2. 4. לא יכולים להופיע מספרים ראשוניים בין איברים אלה כי אם p ראשוני אז 2p חיב להיות לפניו או אחריו אבל זה זוגי שגדול מ- M. 5. אם איבר A אינו ראשוני אז נפרק אותו A=mn. שני הגורמים איזוגיים ע"פ ההנחה, ונניח גם ש- m <=n. בפרט n גדול מ- M (כי A גדול מ- M^2). מכיוון ש- m>2 נקבל ש- n הינו לכל היותר A/3. כעת, 2n הינו מספר זוגי גדול מ- M, לכן עוד לא הופיע בסדרה, ולכן האיבר הבא חיב להיות קטן מ- 2n. לכן האיבר הבא קטן מ- 2A/3 וקיבלנו שהסדרה מונוטונית יורדת, עד שבסופו של דבר אחד האיברים יצטרך להיות שוב קטן מ- M^2, בסתירה להנחה. מש"ל.

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif