סדרה

[מספר6]

סדרה

האם הסדרה הבאה מתכנסת: x_0 = 3 x_{n+1} = x_n + sin(x_n) אם כן, לאיזה גבול ובאיזה קצב היא מתכנסת? (הערה: סינוס ברדיאנים)

 

[טלמון סילבר]

אינני יודע, אבל... מדהים../images/Emo70.gif

 

[עריסטו]

../images/Emo62.gif פתרון

קל להוכיח באינדוקציה שכל איברי הסדרה נמצאים בין 3 ל - pi, ושהסדרה עולה. זה אומר שהגבול הוא pi. בקשר לקצב ההתכנסות: נגדיר טור חדש y_n, כך: y_0=pi-3, y_{n+1}=y_n-sin(y_n) zzz. זה אומר ש - y_n=pi-x_n, לכל n. מה קצב ההתכנסות? לפי טור טיילור, כאשר y קרוב לאפס אזי sin zz הוא בקירוב y-y^3/6. כלומר אם איבר אחד הוא y אזי האיבר הבא הוא בקירוב y^3/6. לכן בטור המקורי (שנתת בחידה), אם השגיאה בשלב מסויים (כלומר ההפרש מ - pi) היא d, השגיאה בשלב הבא היא בערך d^3/6. זה אומר שמספר הספרות הנכונות בתוצאה גדל בערך פי 3 בכל איטרציה.

 

[מספר6]

../images/Emo127.gif תשובה מלאה

ואגב, אפשר להשתמש בסדרה הזו לחשב את פיי בנייר ועיפרון (למה לעזאזל לבזבז את הזמן על זה זו כבר שאלה אחרת). טור טיילור של סינוס מתכנס מאוד מהר והסדרה עצמה עוד יותר מהר. הרבה יותר יעיל מ- 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 ... האם מישהו מכיר שיטות יעילות אחרות?

 

[עריסטו]

שיטה יעילה לחישוב pi

a = 1; b = 1 / sqrt(2); k = 0.25; p = 0.25; START_LOOP: p = p - k * (a - b) ^ 2; k = 2 * k; t = (a + b) / 2; b = sqrt(a * b); a = t; PRINT a ^ 2 / p; GOTO START_LOOP; האלגוריתם מדפיס סידרה של קירובים ל - pi. מספר הספרות הנכונות גדל בכל איטרציה פי 2 בערך.​

 

[עריסטו]

השורה האחרונה אמורה להיות

"האלגוריתם מדפיס סידרה של קירובים ל - pi. מספר הספרות הנכונות גדל בכל איטרציה פי 2 בערך."

 

[מספר6]

מגניב ביותר ../images/Emo70.gif

אבל למה זה עובד?

 

[עריסטו]

לא יודע

תוכל לקרוא על האלגוריתם הזה כאן: http://www.google.co.il/search?hl=iw&q=brent+salamin&meta= והנה עוד אלגוריתם נחמד: מתכנס יותר לאט (בכל איטרציה מקבלים בערך 0.3 ספרות חדשות של pi, כלומר כדי לחשב בדיוק של 300 סםרות צריך בערך 1000 איטרציות), אבל עושה שימוש רק בארבע פעולות החשבון היסודיות - בלי שורשים ריבועיים.

m = 2; s = 0; n = 1; START_LOOP: s = s + m; m = m * n / (2 * n + 1); n = n + 1; PRINT s; GOTO START_LOOP;​

 

[עריסטו]

והנה משהו למי שממש משעמם לו

http://www.greatplay.net/uselessia/articles/10-7pi.txt

 

[טלמון סילבר]

הערה

מהעובדה, שכל אברי הסדרה נמצאים בין 3 לבין π, ושהסדרה עולה, עדין לא נובע שהגבול שלה הוא דווקא π. אבל זה נובע מהערכת ההפרש שהצגת.

 

[עריסטו]

נכון, וחוץ מזה אפשר

למצוא את הגבול כך - בגבול איברי הסדרה מפסיקים להשתנות, כלומר אם הגבול הוא x אז

x+sin(x)=x​

ומכיוון ש - x נמצא בין 3 ל - π נקבל x=π.