סדרה הנדסת

[jakecarter]

סדרה הנדסת

סדרה מוגדרת לכל n טבעי ע"י כלל הנסיגה: a1=1 an+1=an+2n איזה מספר יש להוסיף לכל אחדמהאיברים a1,a2,a3 כך שיהיו שלושה מספרים עוקבים בסדרה הנדסית. אני הגעתי לכך ש a1=1 a2=3 a3=7 איך אני ממשיך?

 

[uv1234]

פתרון

משוואה (1): הגדרת הסדרה. משוואה (2): הגדרת מנת הסדרה ההנדסית המבוקשת (k הוא המספר אותו יש להוסיף לשלושת איברי הסדרה הראשונים בכדי להפוך אותם לסדרה הנדסית). משוואה (3): משוואה (2) וקבלת התוצאה: לשלושת איברי הסדרה הראשונים יש להוסיף 1, ואז הם מהווים חלק מסדרה הנדסית (2, 4, 8). יובל

 

[jakecarter]

תודה רבה

 

[רון חשבון]

ליובל ולעמית

יובל, אני רואה אותך פותר בפורומים השונים עשרות תרגילים, אבל כבר הרבה זמן לא ראיתי שסיבכת כך תרגיל כה פשוט. קרה משהו ? הכל בסדר ? קיבלת מכה בראש ממשהו ?

אני פשוט מודאג...

אם שלושת האיברים הם :

1 , 3 , 7​

אז אחרי שהוסיפו להם k הם יהיו :

1+k , 3+k , 7+k​

ומכיוון שהם מהווים סדרה הנדסית, האמצעי הוא תמיד ממוצע הנדסי של שני שכניו (לכן היא נקראת "הנדסית"), כלומר :

(3+k)² = (1+k)(7+k) 9+6k+k² = 7+8k+k² 2k=2 → k=1​

 

[uv1234]

אאוץ´, הראש, הראש!

אני יושב כאן בוש ונכלם... אכן, הפתרון שלי נראה כמו עוקף טול-כרם, אבל איך אומרים: "אני את הבגרות שלי כבר עשיתי..."

 

[uv1234]

אבל אם אני חושב על זה...

אז הפתרון שלי הוא גם-כן התחשבות באיבר בסדרה הנדסית כממוצע-הנדסי של האיברים הסמוכים לו (משוואה (3), אם עושים כפל בהצטלבות), רק שלא השתמשתי בהגדרה זו מפורשות (מה לעשות, לא התעסקתי עם זה כבר שנה וקצת)... יכולתי, כמובן, אם היה לי את השכל הדרוש, לדלג על שלב או שניים מיותרים...

 

[jakecarter]

תודה רבה

פשוט וקל, קצר וקולע, כמו שצריך ואולי אני פשוט צריך לתת לעצמיצ´פחה בראש ולומר "איך לא חשבתי על זה קודם?" בכל מקרה,תודה על הפתרון.

 

[jakecarter]

ועוד סדרה הנדסית

סכומם של שלושה מספרים, המהווים סדרה חשבונית, הוא 18. אם נוסיף למספר הראשון 1 ולמספר השלישי 2, נקבל שלושה איברים של סדרה הנדסית. מצא את שלושת המספרים שמהווים סדרה חשבונית (מצא את שתי האפשרויות). אנא עזרו לי..

 

[tzfardea]

2,6,10........./images/Emo105.gif

בהצלחה.

 

[רון חשבון]

הדרכה לפתרון

כשנתון על שלושה מספרים שהם מהווים סדרה חשבונית, יש טריק חשוב, שמסמנים את האמצעי ב x , את הראשון ב x-d ואילו את האחרון ב x+d . הטריק מאד שימושי בייחוד כשנתון הסכום שלהם. כי הרי אז :

(x-d)+x+(x+d) = 18 3x = 18 → x = 6​

והנה כבר מצאנו משתנה אחד מבין השניים ! כדי למצוא את המשתנה השני (d) נשתמש בנתון השני. האיברים החדשים הם (שים לב שלשני לא הוסיפו כלום) :

x-d+1 , x , x+d+2​

עכשיו צריך להגיד שהם מהווים סדרה הנדסית. איך נעשה זאת ? זוכר מהתרגיל הקודם ? נסה לסיים !

 

[jakecarter]

תודה