נפח כדור בעזרת אינטגרל

[ילדה 50]

נפח כדור בעזרת אינטגרל

אני חייבת בשביל עבודה לסיום התואר
את הדרך להגיע ל 4/3 πr^3 (נפח כדור) בעזרת חישוב אינטגרלי.
אני חייבת דחוף את העזרה הזאת!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!יש מצב???

 

[איייייל]

STFW

למשל כאן:
http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-formulas/derivation-formula-volume-sphere-integration

זה נראה לי קצת בסיסי מדי בשביל עבודת סיום תואר...

 

[ילדה 50]

תודה רבה!צריכה עוד משו..

אני מסיימת שנה שלישית כמורה למתמטיקה יסוד.
כך שהרמה המתמטית כאן היא ממש גבוהה. . (מתי למדת את החומר הזה ביסודי?!)

עכשיו אני צריכה פתרון של שטח מעטפת של כדור עם אינטגרלים. יש מצב?!

 

[ילדה 50]

אני צריכה שטח מעטפת של כדור ושטח של עיגול.

בעזרת אינטגרלים.
ואם יש לך חומר על זה זאת אומרת, מקורות נוספים
אני אשמח מאוד מאוד

תודה ענקית אין לך מושג כמה עזרה זו מצילה אותי!!!!

 

[1ca1]

הנה שטח של עיגול

אפשרות אחת - הפונקציה שמגדירה את המעגל (חלקו העליון של מעגל היחידה למשל) היא zz y=sqrt(1-x^2) zz
ופשוט לעשות לה אינטגרל ומקבלים חצי משטח העיגול.

אפשרות שנייה - עיגול הוא אוסף של "אינסוף" מעגלים (שהם הרי ב"עובי" אפס, אבל בסה"כ הם נהיים שמנים).
ההיקף של כל מעגל הוא 2pi*r
ולכן השטח של עיגול יהיה S2pi*rdr, בין 0 ל-R, כלומר pi*R^2. צריך להצדיק את האמירה שכתבתי (אוסף של אינסוף מעגלים = עיגול), וזה נעשה בקורס בחשבון אינפינטיסימלי, דרך משהו שנקרא סכומי רימן.

לגבי שטח של מעטפת של כדור, לא באמת צריך כאן אינטגרל, זה כמו שטח של קשת של מעגל, זה הרי המפתח הזוויתי כפול הרדיוס, אותו דבר עובד גם במרחב (רק שם, הזוויות הן "זוויות מרחביות" שנמדדות ביחידה שנקראת סטרדיאן).
אם את מתעקשת על אינטגרל, האינטגרל שיש לי בראש הוא די מסובך (ומגיע ממשהו שנקרא אינטגרל משטחי), אני יכול לכתוב אותו אבל לדעתי הוא לא ייתן לך את מה שאת רוצה.

 

[עריסטו]

לגבי שטח המעטפת

הוא הנגזרת של נוסחת הנפח (כמו לגבי עיגול ומעגל).

בנוסף, לא מובן מה שכתבת לגבי חישוב שטח מעטפת של כדור עם זוית מרחבית - איך אתה יודע ללא אינטגרל כמה סטרדיאנים יש בכדור שלם?

עוד דבר - אם רוצים לחשב את שטח המעטפת על ידי אינטגרל לא צריך אינטגרל משטחי. אפשר להשתמש בנוסחת שטח פנים של גוף סיבוב.

 

[ילדה 50]

זה מה שאני צריכה שטח פנים של גוף סיבוב. אבל

שגוף סיבוב יהיה כדור

 

[1ca1]

אם מסובבים מעגל (או חצי מעגל יותר נכון)

אז מקבלים כדור...

 

[ילדה 50]

תודה על התשובה אבל בגלל שזה לעבודה אני חייבת

מקור ממנו לקחתי את המידע.
ולצערי פורום זה לא יכול לשמש לי כמקור.
אני צריכה על ידי אינטגרל

 

[היניב666הישראלי]

סיכומי פרופ' מתניה בן ארצי

מהאוניברסיטה העברית, בנושא אינטגרציה:
http://math.huji.ac.il/~mbartzi/teaching/advanced_calculus.html