תשובה
אילו הפונקציה היתה דיפרנציאבלית, אז אנחנו יודעים נוסחא לנגזרת הכיוונית, שאומרת ש- df/du = grad(f)*u, ואז פשוט תבחר במקום u את מינוס u, ותקבל שהנגזרת בכיוון המנוגד צריכה להיות שלילית.
אנחנו צריכים להיות קצת חכמים.
הרעיון הוא כמובן להוכיח שנקודה x0 כזו צריכה להיות "מינימום" ולכן הנגזרת היא אפס, ממשפט פרמה.
יהי u כיוון כלשהו, צמצם את f על הישר x0+su ל-s ממשי.
עכשיו, x0 נקודה ש-f גזירה בה.
מכך שהנגזרת בכיוון u היא חיובית, f עולה בסביבה ימנית של x0 (זאת ההגדרה של הנגזרת של f למעשה בצמצום הזה).
מאחר שהנגזרת בכיוון מינוס u עולה, אז f יורדת בסביבה שמאלית של x0 (שוב פעם, לפתוח את ההגדרה כאן), המילים סביבה ימנית ושמאלית כמובן מתארות סביבות של x0 על הישר שתיארתי.
ולכן x0 נקודת מינימום, ולכן ממשפט פרמה, הנגזרת בנקודה צריכה להתאפס, בסתירה.
