משפט פרמה..

[vizini]

ומי יודע להוכיח את המשפט הבא?

לכל n גדול מ-2 לא קיימים a,b ו-c שלמים כך ש- n^a+n^b=n^c

 

[טל ר]

אז ככה

נניח קיום a,b,c כנ"ל ונגיע לסתירה. ברור ש: c > a, c > b (אם זה לא ברור, אז אני אוכיח את זה - רק תבקש. זו הנקודה בה צריך ש-n>2). נניח ב.ה.כ. ש: a > b. נחלק הכל ב-n^b ונקבל:

n^(a-b) + n^0 = n^(c-b)​

מכאן שניתן להוסיף ולהניח ב.ה.כ ש- b = 0, ועכשיו יש לנו: n^a + 1 = n^c אם כך, צד ימין של המשוואה מתחלק ב-n, בעוד צד שמאל שלה הוא 1 יותר ממספר המתחלק ב-n, והגענו לסתירה.

 

[טל ר]

וכמובן, מה ששכחתי

הנחתי a > b וצ"ל שלא יכול להיות a = b - זה מאוד פשוט - למעשה כאן צריך ש-n>2 ולא כפי שכתבתי.

 

[vizini]

יש הוכחה הרבה יותר פשוטה ואלגנטית

רמז: איך נראית הבעיה בבסיס n?

 

[טל ר]

אכן הרבה יותר פשוט בבסיס n...