משפט פיתגורס.

[דלסינאה]

משפט פיתגורס.

שוב שלום, אשמח לקבל כמה שיותר הוכחות (מקוריות), פחות סטנדרטיות למשפטנו האגדי רב תודות, עוד חסידה של פיתגורס.

 

[ר סעידוב]

את חתיכת פריקית !! יש יותר מ-200!!

את בטח כזאת בחורה עזובה שהסביבה התאכזרה אליה. אין לך חברות ובטח שלא ראית אפילו זין בחיים שלך בתולונת חננה. צאי אל העולם, הוא יפה מאד ותתחילי לבלות, כי החיים יותר מעניינם ממתימתיקה.

 

[הנשר הנובח]

הנה 40 הוכחות למשפט פיתגורס ../images/Emo107.gif

כנסי לכאן.

 

[1ca1]

הוכחה נחמדה בוקטורים....

נגדיר משולש ABC ישר זווית כך שזווית abc היא הישרה נגדיר וקטורים (שימו לב לשמור על הכיוון פשוט פה אי אפשר לעשות את זה)

ab=U bc=V שימו לב ש ab מאונך ל bc עכשיו נמצא את ac לפי סכום וקטורי נקבל ac=u+v עכשיו נמצא את אורך ac |ac|=sqrt(ac^2)=sqrt(u^2+v^2+2u*v) כמובן לשים לב שמדובר במכפלה סקלרית בין u ו v אז נשים לב ש u מאונך ל v => u*v=|u|

cos(u,v)=|u|

cos(90)=0 נציב בביטוי שקיבלנו ונקבל |ac|=sqrt(u^2+v^2) מאחר ש (ab)^2=(ba)^2=u^2=|ab|^2=|ba|^2 ו (bc)^2=(cb)^2=v^2=|bc|^2=|cb|^2 (כי מאחר שמדובר במכפלה סקלרית של האורכים והזווית היא אפס אין צורך לשים לב לכיוון כאשר כופלים את הוקטור בעצמו) ואז נציב את זה ונקבל |ac|=sqrt(|ab|^2+|bc|^2) וזהו משפט פיתגורס המפורסם (אני הוספתי את התיאור של הצלעות רק כדי להמחיש כעקרון אפשר להגדיר וקטור w שיהיה היתר ואז לקבל את אורך w באותה דרך וזהו ואז יצא משהו בדומה |w|=sqrt(|u|^2+

^2) וזהו)​

 

[טלמון סילבר]

נחמד מאוד אבל שאלה אכזרית:

האם אנחנו יכולים להיות בטוחים, שהחומר שאתה מסתמך עליו, אינו משתמש ב...משפט פיתגורס? אני לא אומר שלא. פשוט אני לא יודע. זו שאלה רצינית. למשל ידוע, שאפשר להוכיח את הפסטולט החמישי של אוקלידס ("אקסיומת המקבילים") בהסתמכות על משפט פיתגורס, שהוא עצמו נכון רק בהנדסה האוקלידית, כלומר מסתמך על אקסיומת המקבילים. האם אנו בטוחים, שאין לנו כאן מקרה דומה?

 

[1ca1]

אני לא חושב כך טלמון

כפי שהראיתי אני מסתמך על הגדרת המכפלה הסקלרית והנוסחא לחישוב אורך של וקטור... אין שום שמץ לגיאומטריה בהוכחה שלי (חוץ מכמובן הסתמכתי שקיימת זווית ישרה במשולש והיא נמצא בין 2 הוקטורים u,v...) למעשה אפשר להוכיח את משפט הקוסינוסים באותה דרך (כאילו אם תפתח את זה עבור זוית כללית cosa תקבל שם בדיוק את משפט הקוסינוסים) ונגיד אם תוריד את ההוכחה שלי עדיין נשארו איזה e^6 (אהה מה נסגר איתי היום?) הוכחות למשפט...

 

[דלסינאה]

חבר'ס, תודה רבה../images/Emo6.gif

 

[טלמון סילבר]

אני לא אומר שלא, אבל כדאי לבדוק

את כל ההגדרות הרבה מאוד אחורנית, ולהיווכח שאין הסתמכות על משפט פיתגורס. למשל: מה זה בכלל אורך של וקטור?

 

[1ca1]

אורך של וקטור

אורך של וקטור נובע מהגדרת הוקטור וקטור=גודל פיזיקלי + כיוון... =>גודל של הוקטור זה החלק של ה"גודל" בהגדרה (לכן גם אין כ"כ הרבה משמעות לכיוון בעניין של פיתגורס) את הגודל של וקטור ניתן לקבל ע"י הפעלת שורש... על המכפלה הסקלרית של הוקטור בעצמו... ניתן להוכיח את הנוסחא של אורך של וקטור ע"ס משפט פיתגורס (ככה זה אצל הרבה משפטים ניתן להוכיח מאחד את השני ולהפך) אבל אם אני לא טועה ישנם גם הוכחות אחרות לנוסחא שאינן מתייחסות לפיתגורס...

 

[Fingertip]

עד כמה שאני זוכר מתורת הוקטורים...

לוקטור יש אורך וכיוון. אפשר לעשות התאמה חח"ע ועל בין כל הוקטורים לבין כל הקטעים המכוונים שמתחילים בראשית הצירים. את הנוסחה לאורך של וקטור אפשר לקבל באמצעות אינדוקציה על משפט פתגורס. עבור n=2 ממדים, זהו בדיוק משפט פתגורס. אם הנוסחא נכונה עבור n=k ממדים, אז עבור וקטור של n=k+1 ממדים אפשר לעשות הטלה על אחד הצירים, למשל על הציר ה-k+1-י. הקורדינטה ה-k+1-ית היא אורך הקו שמחבר את ראש הוקטור עם נקודת ההטלה שלו על הציר. את אורך ההיטל אפשר לחשב באמצעות הנוסחה עבור n=k ממדים, ומקבלים לפי פתגורס שאורך הוקטור הוא:

sqrt[(sqrt(x1^2+x2^2+...+xk^2)^2+x(k+1)^2]​

אהד.

 

[טלמון סילבר]

זו בדיוק השאלה:

האם נכונה הוכחת משפט פיתגורס באמצעות מכפלה סקלרית של וקטורים? האם לא מתקבלת כאן "לולאה" לוגית?

 

[1ca1]

טוב מצאתי את הדרוש

אורך של וקטור (אלגברי) ניתן להביע ע"י וקטורי היחידה של הצירים (כי הם מהווים את הבסיס למרחב הוקטורי...)... וזה בלי שום קשר למשפט פיתגורס (כמובן אפשר להוכיח גם עם פיתגורס אבל זאת אינה המטרה)

 

[1ca1]

וגם עוד משהו

נשתמש בנוסחא של מכפלה סקלרית

u*v=|u|

cos(u,v) אז נציב u*u=|u|^2*cos0=|u|^2 וזהו... אין קשר בכלל לפיתגורס... זה מסתמך על הגדרת המכפלה הסקלרית...​

 

[Fingertip]

אבל שוב....

מאיפה אתה יודע שכל ההגדרות האלה מתאימות ונכונות? אולי השתמשו במשפט פיתגורס על מנת להוכיח אותן? (משפט פיתגורס הוא משפט גיאומטרי די יסודי באלגברה לינארית) אהד.

 

[Escova]

חידה קטנה בגאומטריה...

הצלחתי היום להמציא משפט לגבי מציאת אורך האלכסון במלבן בו ידועים אורכי הצלעות. זה הולך ככה: "אורך האלכסון בריבוע שווה למחצית היקף המלבן בריבוע, פחות פעמיים מחצית מכפלת היקף הריבוע" הבקשה שלי, אם מישהו יכול להציג לי הוכחה למשפט ? (האמת זה די קל, יחסית) אני לא מאמין שהמשפט הזה כבר קיים, אם כן תודיעו לי, אם לא, נקרא אותו על שמי...

 

[alon h]

קיים גם קיים..

זה בעצם משפט פיתגורס