משוואת אוילר.

[D a n n y b o y]

משוואת אוילר.

לגבי המשוואה המקשרת בין פונקציית אקספוננטה לסינוס וקוסינוס- איך מגיעים לזה? באיזה קורס באוניברסיטה לומדים את זה? e^ia=cosa+isina

 

[אוילר]

טוב...

אז המשוואה היא לא באמת משפט....היא יותר כמו הגדרה....הגדר שמתישבת עם דברים אחרים..... בקורס אינפי 2 (לפחות באוניברסיטה העברית) לומדים יצוגים של פונקציות באמצעות טורים אינסופיים הנקראים טורי טיילור (ראה מאמר של fingertip) שהם בעצם "פולינומים", רק אינסופיים (או בלשון מתמטית-טורי חזקות) בין הטורים ניתן למצוא טור (שתלוי ב x) שערכו הוא sinx לכל x ממשי (!!), כנ"ל לגבי cosx ו e^x . עם "מציבים" לגבי הטורים הללו המשוואה נכונה ולכן החליטו להגדיר זאת כך...

 

[freedom rider]

אני למדתי את זה באינפי ב

 

[Fingertip]

אנחנו למדנו ב"פונקציות מרוכבות"

בכל מקרה, אפשר להגיע למשוואה הזו באמצעות הגדרה, או באמצעות משפט. (או, ליתר דיוק, לצורה היותר כללית:

exp(x + iy) = e^x (cos y + isin y)​

וההגדרה שקולה למשפט. (ליתר דיוק, אם מתחיל במשוואה בתור הגדרה, אפשר להוכיח את ההגדרה שאיתה היינו מתחילים אם היינו מוכיחים את המשוואה כמשפט) אוף, זה יצא די מבלבל... אהד.

 

[למפיג]

הסבר פשוט

איך אתה בכלל מגדער e^ix? כשזה מספר ממשי, אתה אומר שזה X פעמים e כפול עמצו וכו', כשזה מספר מרוכב, אתה מגדיר את זה כהמשכה האנליטית של e^x, שאפשר להראות שהיא יחידה. מה זה אומר? הפיתוח שלה לטור טיילור זהה לפיתוח במקרה הממשי, אתה מציב שם ix במקום x, אתה מפריד לחלק ממשי ומדומה, אתה מקבל בחלק הממשי את הפיתוח לטור של cos, ובחלק הממשי את הפיתוח לטור של sin מישהו כבר כתב את זה לפני אבל אני הצלחתי לסבך את זה...

 

[josef007]

גם אני למדתי את זה באינפי2 בבר אילן

ואם אני לא טועה על ה"משפט" הזה יש שאומרים שבגלל זה יש אלוהים

 

[איגור קרסיק]

כנראה אילו אנשים אתאיסטים

 

[freedom rider]

כן, בבר אילן יכולים להגיד דבר כזה

ואז מגיעים למשפטי גדל - ועדיין יש אלוהים?

 

[אוילר]

חחח....

לא לא....גדל בא אחר כך אלוהים ראה שהמתטיקה מתקדמת מהר מדי ואז החליט לדפוק אותנו קצת....לשמור קצת ידע לעצמו

 

[איגור קרסיק]

יש שרואים במשפטים הנ"ל כהוכחה לשטן

 

[pallidfool]

ענו לך על הרבה דברים

רק רציתי להוסיף: קיים משפט האומר כי ההרחבה בעזרת המשוואה הנ"ל לפונקציית האקספוננט היא ההרחבה היחידה שקיימת שתוביל לכך שפונ' האקספוננט תהיה גזירה בכל המישור המרוכב.

 

[D a n n y b o y]

אוקיי, תודה רבה!

פשוט נתקלתי בזה בפיסיקה 1 (מכניקה) ובמבוא למשוואות דפרנציאיליות. התייחסו בקורסים רק ליישומים של המשפט, לא להוכחה שלו. שוב, תודה!