משוואה

[basenew]

משוואה

איך מוכיחים את המשוואה הבאה: (ראה תמונה)

 

[הפרבולה]

מה זה r ?

 

[basenew]

פירוט:

n - אי זוגי
r - מספר מרוכב
r^n=1
r שונה מ-1

 

[עריסטו]

אפשר לראות את שני האגפים כפולינום במשתנה x

מהם השורשים של הפולינום באגף השמאלי?
מהם השורשים של הפולינום באגף הימני?
מהו המקדם של x^n בשני האגפים?

 

[בחשכת הלילה]

נראה לי שדרוש תנאי נוסף לקיום הזהות:

r אמור להיות לא סתם שורש יחידה, אלא שורש יחידה פרימיטיבי.
כלומר, לא קיים מספר טבעי m קטן מ-n, כזה שגם r^m=1.

למשל, יהי r שונה מ-1, ו- r^3=1.
נניח שהזהות נכונה תמיד בתנאים שציינת.
אז:
(x + y)(x + r•y)(x + (r^2)•y) = x^3 + y^3

:וגם

r^9 = (r^3)^3 = 1^3 = 1

(x + y)(x + r•y)(x + (r^2)•y)(x + (r^3)•y)(x + (r^4)•y)(x + (r^5)•y)(x + (r^6)•y)(x + (r^7)•y)(x + (r^8)•y) = x^9 + y^9

r^3 = r^6 = 1
r^4 = r^7 = r
r^5 = r^8 = r^2

(x + y)(x + r•y)(x + (r^2)•y)(x + y)(x + r•y)(x + (r^2)•y)(x + y)(x + r•y)(x + (r^2)•y) = x^9 + y^9

[(x + y)(x + r•y)(x + (r^2)•y)] ^ 3 = x^9 + y^9

(x^3 + y^3)^3 = x^9 + y^9

שזה ממש לא נכון (למשל עבור x=y=1).
כמו-כן, ברמז שכתב עריסטו, אמורים להופיע כל תשעת השורשים של יחידה, ובדוגמה שהצגתי מופיעים רק שלושה מהם, עם חזרות.
לעומת זאת, אם ניקח שורש פרימיטיבי, אז החזקות שלו ירוצו על כל השורשים.

 

[בחשכת הלילה]

הדרכה נוספת

א. התחל מתרגיל פשוט יותר: נסה להוכיח זהות דומה, בה כל סימני הפלוס, בשני האגפים, הוחלפו לסימני מינוס.
השתמש בהוראות שכתב עריסטו.
נגדיר את המספר n כמספר הטבעי הקטן ביותר, עבורו מתקיים: r^n=1.
(למספר המרוכב r קוראים שורש יחידה פרימיטיבי סדר n)
n יכול להיות גם זוגי. למשל:
r = i
n = 4
x^4 - y^4 = (x - y)(x - iy)(x - i²y)(x - i³y)
השתמש בעובדה, שהחזקות השונות (מ-0 עד n-1) של שורש יחידה פרימיטיבי סדר n, "נותנות" את כל שורשי היחידה השונים סדר n.
למשל, החזקות של i "נותנות" את כל שורשי היחידה סדר 4:
i^0 = 1
i^1 = i
i^2 = -1
i^3 = -i

ב. איך עוברים מהתרגיל הפשוט לתרגיל המקורי, עם הפלוסים?
מדוע זה לא עובד על n זוגי?
מה אפשר לשנות, כדי שזה יעבוד גם על n זוגי?