מקל קסמים

[whatmeworry]

מקל קסמים../images/Emo35.gif

נתון משטח דו-מימדי אינסופי, המחולק לאינסוף מקטעים דו-מימדיים, וכל מקטע צבוע אקראית בשחור או בלבן (לשם פשטות נניח כי כל מקטע שחור מוקף במקטעים לבנים, ולהיפך). יש להוכיח כי ניתן להניח מקל (בעל אורך סופי) כך ששני קצותיו ינוחו על מקטעים שונים בעלי אותו צבע.

 

[Calius]

../images/Emo58.gif פתרון

נניח כי אורך המקל המבוקש הוא d, ונסתכל על משולש שווה-צלעות עם אורך צלע d. (כלומר: נניח את המקל כל פעם על צלע אחת של משולש כזה -- לא משנה "היכן" נמצא המשולש). יש רק שני צבעים, ויש שלושה קודקודים. לכן, שני קודקודים הם באותו צבע (שחור או לבן). יש עוד לפחות שתי דרכים שונות קלות לפתור את זה -- אשמח לפרט.

 

[whatmeworry]

ומה אם 3 הקודקודים באותו צבע?

 

[whatmeworry]

אופס, טעות... התשובה נכונה

 

[whatmeworry]

../images/Emo128.gif טעות על גבי טעות ../images/Emo3.gif

ההנחה שקודקודי המשולש נחים על מקטעים שונים אינה בהכרח נכונה. מן הסתם נדרש פתרון אחר...

 

[טלמון סילבר]

אפשר לקבל הסבר

על החידה? מה זה "המקטעים"? כאשר נתון שכל נקודה במישור צבועה באחד משני צבעים נתונים, אז הפתרון עם המשולש שווה-הצלעות ברור ומובן. אבל עם "המקטעים השונים" אינני מבין במה מדובר, ובפרט, מדוע קודקודי המשולש מונחים ב"מקטעים שונים"?

 

[whatmeworry]

הסברצ'יק

המקטעים הם צורות כלשהן במישור בעלות צבע אחיד. דוגמא פשוטה היא לוח שחמט, בו כל משבצת = מקטע, אולם החידה אינה מגבילה אותנו למקטעים בעלי צורה (או גודל) ספציפי. לגבי המשולש: אתה צודק, בהחלט יתכן מצב בו לא ניתן לבנות משולש שקודקודיו ינוחו במקטעים שונים, ועל כן הפתרון אינו נכון.

 

[טלמון סילבר]

עדיין לא ממש ברור

מה זה "מקטע". דוגמה. חילקנו את המישור האינסופי R^2 לרצועות אינסופיות מקבילות ברוחב = 1, ורצועות אלו הן "המקטעים" שלנו. והם ("המקטעים") צבועים לסירוגין בשני צבעים. עכשיו ניקח מקל באורך 1/2, וקצוותיו בשום אופן לא יוכלו להיות בשני משטחים שונים בעלי אותו צבע.

 

[whatmeworry]

המקטעים הם צורות סגורות סופיות

 

[טלמון סילבר]

דוגמה נגדית גם ל"צורות סופיות".

נבנה את "המקטעים" באופן הבא: 1. עיגול ברדיוס = 1. 2. טבעת בעובי = 1 המקיפה את "המקטע" מס. 1. . . . n+1. טבעת בעובי = 1 המקיפה את "המקטע" מס. n. כל אחד מ"המקטעים" הוא סופי. אבל אם ניקח מקל באורך = 1/2, לא נצליח להניח את קצוותיו בשני "מקטעים" שונים בעלי אותו צבע. כזה אני נודניק! גם לא ברור מה זה פה "סגור". למשל לוח שחמט אינסופי: למי שייך הגבול בין שתי משבצות שכנות? מה צבעו?

 

[טלמון סילבר]

כנראה אחת הדרישות

היא, שכל "המקטעים" קמורים?

 

[whatmeworry]

אמת ויציב

מקטעים אינם "מכילים" מקטעים אחרים. בעיית הגבול בין מקטעים אינה בעיה ממש: "קצה" מקטע לבן נושק ל"קצה" מקטע שחור, דהיינו נקודה לבנה משיקה לנקודה שחורה.

 

[n u t]

שאלה...

מה קורה אם אורך המקל קצר מאורך מקטע?

 

[whatmeworry]

לא קורה...

תמיד אפשר להציב את המקל על שפת מקטע, כך שיחצה את גבול המקטע ו"יכנס" למקטע הצמוד אליו.

 

[טלמון סילבר]

הכל פתוח:

מה זה מקטע? האם יש לו "שפה"? ואם הוא יכנס למקטע צמוד (וגם זה עדיין לא ברור מה זה), אז קצהו השני יהיה על צבע אחר?

 

[צחי עציוני]

אפשר לקבל את שתי השיטות האחרות?

 

[Calius]

למשל:

נסתכל על נקודה כלשהיא, ונסתכל על העיגול שמרכזו בנקודה הנ"ל ורדיוסו 1. אם יש על העיגול נק' בצבע זהה לזה שבמרכז, סיימנו (שתי נקודות עם מרחק 1 באותו הצבע). אם לא -- כל העיגול צבוע בצבע אחד בלבד. לכן יש בו מיתר באורך 1 (למעשה -- איןסוף מיתרים כאילו).

 

[whatmeworry]

אתה מתקרב

אולי השיטה הנוספת היא זו שאליה אני חותר...

 

[whatmeworry]

מק../images/Emo78.gif

קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ קפיץ קפוץ