מקור המתמטיקה

[atheist22]

כמה תיקונים למה שכתבת

משפט גדל מתייחס לטענות ולא לאקסיומות. כפי שכבר כתבתי, אקסיומות לא ניתן להוכיח לפי הגדרה. יתרה מזאת, אם הצלחת להוכיח אקסיומה, אז היא מפסיקה להיות אקסיומה והופכת להיות משפט. בקשר להשערת גולדבאך, הוכח כי היא נכונה מעבר למספר מסויים גדול מאוד. כך שעם מחשב מאוד חזק(שלא קיים היום) ניתן לבדוק את כל המספרים עד המספר הזה ולהוכיח או להפריך את הטענה. כך שהיא לא שייכת לסוג הטענות שעליו מדבר משפט גדל. מה שמעניין הוא שאנחנו לא נתקלים בטענות מהסוג הזה. משפט פרמה הוכח. השערת גולדבאך בהכרח ניתנת להוכחה או להפרכה. אז איפה הטענות שעליהן גדל מדבר?

 

[atheist22]

אתה טועה

תקרא שוב את מה שכתבתי.

 

[כרומטי]

בספר המשפט האחרון של פרמה

יש קטע בנוגע לעבודתו של גדל. רשום שם שמישהו אחר הוכיח שאיזה משפט חשוב מאוד הוכח כבלתי ניתן להוכחה. לא זוכר את שם המשפט אני רק זוכר שהמשפט היה חלק מהתוכנית של הילברט....קראתי את זה ממזמן.

 

[atheist22]

מקור המתמטיקה

מה מקור המתמטיקה? האם ייתכנו מתמטיקות שונות? אם כן אז האם יש משהו שמייחד את המתמטיקה שפיתחנו? מה גורם לנו להחליט אילו אקסיומות אנחנו בוחרים? בכמה אקסיומות השתמשו בפיתוח המתמטיקה? למה המתמטיקה שימושית לתיאור העולם? טוב אתם רואים מה מעניין אותי כאן. אשמח לראות דיון בנושא או קישורים מועילים.

 

[josef007]

אקסיומות....

האקסיומות שעל פיהם מתבססת המתמתיקה הם כל כך ברורות שאין מה להוכיח אותן ולפיכך מותר להשתמש בהן כגון: 1)השלם גדול מחלקו(ברור כאילו דא...) 2)כל גודל שווה לעצמו 3)אם a=b אז: b=a וכו´ ומה הכוונה בייתכנו מתמתיקות שונות ...? מקור המתמתיקה החלה בראשית העולם שאנשים החלו לספור כבשים שלהם כל בא החיבור הכפל ועד היום תוכל למצוא הסברים מפורטים יותר בספרים רבים

 

[atheist22]

אקסיומות

כתבת שהאקסיומות "כל כך ברורות שאין מה להוכיח אותן" יש במשפט שלך שתי טעיות. קודם כל אין שום משמעות לדבר על הוכחת אקסיומות, כי את האקסיומות מניחים ולא מוכיחים לפי הגדרה. לא ניתן להוכיח אקסיומות. שנית, הרבה אנשים בעבר הניחו הנחות כי הן "כל כך ברורות שאין מה להוכיח אותן", רק שמאוחר יותר הסתבר שההנחות שלהם לא נכונות. ההנחות יכולות להיות לא נכונות בשתי דרכים. הדרך הראשונה היא שהן מובילות לסתירה אם הנחות אחרות. במתמטיקה זה לא קורה, אבל בפזיקה זה קורה המון שהנחות שהן "כל כך ברורות שאין מה להוכיח אותן" פשוט מתנגשות עם המציאות וחייבים להחליף אותן. הבעיה השנייה שיכולה להופיע היא שלפעמים מתגלה שאין צורך בהנחה מסויימת, אבל לא במובן שאם מסירים אותה אז מתקבל אותו מבנה מתמטי, אלא שמתקבל מבנה אחר, כללי הרבה יותר שעדיין עקבי. כך קרה לדוגמה עם ההנחה בגיאומטריה שבהינתן ישר ונקודה ניתן להעביר רק ישר אחד דרך הנקודה שלא יחתוך את הישר הנתון. זוהי אחת האקסיומות של הגיאומטריה האוקלידית. מסתבר שניתן לבנות גיאומטריה עקבית גם בלעדיה, ולא רק זאת אלא שגיאומטריה אוקלידית לא מתארת את היקום שבו אנחנו חיים. העניין הוא שאם נסיר את כל האקסיומות אז נשאר בלי מתמטיקה בכלל. אז מאיפה בכל זאת אנחנו בוחרים את האקסיומות?

 

[Fingertip]

לא כל כך הבנתי...

האם ב"מתמטיקה" אתה מתייחס לכללי ההיסק (כלומר, "אומנות שכנוע הספקנים") או לתורות המתמטיות עצמן (אריתמטיקה, אלגברות למיניהן וכו´) לפי טיב השאלה, נדמה לי שהתכוונת לסוג השני... אז במקרה הזה, בוחרים מערכת של אקסיומות שנראה כאילו הן מספיקות. ואז בודקים אם הן עומדות במבחן המציאות... למשל, אם הן גורמות לסתירה, או אם יש אחת מיותרת וכו´. למשל, בתורת ההסתברות, פעם אחת האקסיומות (או אולי היחידה?) הייתה שגבול מסויים קיים. מכיוון שזו נראית הנחה מאוד משמעותית, בתורת ההסתברות המודרנית בחרו 3 אקסיומות הרבה יותר מתקבלות על הדעת. אותו הדבר לגבי תורת הקבוצות. (ע"ע - הפרדוקס של ראסל) אהד.

 

[atheist22]

התכוונתי לכל המכלול

כולל כללי ההיסק. אחת השאלות היא מאיפה כל המבנה מתחיל? האם יש שפה סטנדרטית שבעזרתה אפשר לפרוס את כולו? כמה שפות כאלה יש ועד כמה הן יכולות להיות שונות אחת מן השנייה. טוב, אם הניסוח שלי לא מוצלח, אני יכול לנסח בצורה יותר ברורה שאלה דומה בקשר לפיזיקה או למדעי המחשב.

 

[איגור קרסיק]

שמעת על לוגיקה מתמטית

עקרונית יש 2 שפות פורמליות: 1. תחשיב הפסוקים 2. תחשיב הפרדיקטים. לפי מה שאני יודע בעזרת 2 ניתן לבנות את המתמטיקה [רק שזה כולכך פורמלי עד שלהתעסק אם זה זה כאב ראש...] ו-1 משמש מעיין בסיס ל-2. אבל כל זה לא ממש בטוח כי עדיין לא למדתי את הקורס "לוגיקה מתמטית".

 

[atheist22]

יש לך אולי קישורים?

או לפחות אולי איך קוראים לזה באנגלית?

 

[hanandn]

לא על זה דיבר קורט-גדל?

 

[איגור קרסיק]

הוא קשור לנושא

לצערי אני לא יודע איך התחום נקרא באנגלית. מה שכן יש ספר מאוד חשוב שכתב ראסלrincipia mathematica שקשור בנושא. אולי תעשה חיפוש על הספר הנ"ל... ניתן גם לחפש ב-mathworld את הנושא של לוגיקה...

 

[bralon1]

בקשר לראסל.

אם אינני טועה הוא פיתח את תורת הקבוצות על מנת לפתור את בעיית פרדוקס התנועה של הפילוסוף היווני זינון, הלא כן?

 

[bralon1]

תגובה.

שמתי לב שענו לך על רוב השאלות, ויש לי אולי רק דבר אחד לחדש בדבר השאלה האחרונה: "למה המתמטיקה שימושית לתיאור העולם"? המתמטיקה היא בעיקרון השפה האנושית הכי מתומצתת ויעילה שקיימת (או לפחות שנגישה לנו) ולכן אנו משתמשים בה כדי לתאר את העולם (שאר השפות, ההסברים אצלהם יהיו ארוכים יותר ובשל כך יעילותם תרד).

 

[atheist22]

שפה מתומצתת

איך אתה יודע שזאת השפה הכי מתומצתת? השאלה הזאת היא חלק מהותי מהעניין. השאלה היא כמובן גם שפה מתומצתת למה, כיוון שתופעות שונות ניתנות לייצוג טוב בדרכים שונות. אגב יש שאלה קשורה לנושא: כאשר אנחנו מפתחים תיאוריות פיזיקליות שמתארות את הטבע, ככל שהתיאוריות שלנו נעשות יותר טובות, כך הן נעשות יותר קשות להבנה ופחות אינטואיטיביות. זה בדיוק ההפך ממה שפיזיקאי ממוצע היה מצפה. השאלה היא למה זה קורה? במקרה הזה דווקא יש לי תשובה טובה. היקום פועל לפי חוקים כלשהם. בהינתן החוקים האלה היקום התפתח, נוצר כדור הארץ ובני האדם התפתחו במהלך של אבולוציה. המוח האנושי נועד כדי למצוא אוכל, להימנע מטורפים, למצוא בני זוג ולהתמודד אם מצבים חברתיים. המושגים שבהם המוח חושב הם אלה שמתאימים להתמודדות עם מצבים אלה, ואין שום סיבה שניתן יהיה לתאור בפשטות ובצורה אינטואיטיבית את חוקי הטבע הבסיסיים בשפה של המוח האנושי. אנחנו פשוט מתחילים מתיאוריות שאותן יותר קל לנו לבטא בעזרת הכלים שלנו ולאט לאט מתקרבים לאיך שהטבע באמת פועל. עכשיו בקשר למתמטיקה, זה לא ממש ברור לי עד כמה היא מושפעת מצורת הפעולה הסובייקטיבית של המוח שלנו ועד כמה היא מושפעת ממשהו יותר יסודי. אני חושב שזה עניין שחשוב לחקור אותו, ובמידה רבה זאת היתה המהות של השאלה שלי. אגב כדי להגיד שהמתמטיקה היא באמת "פשוטה", צריך להפוך אותה למשהו שמחשב יכול להבין. צריך לבטא אותה בצורה סטנדרטית ומומלץ גם לבנות תוכנה שיכולה להחליף את המתמתיקאי (ולזה היום אנחנו כלל לא מתקרבים). זה אגב תחום שמאוד מעניין אותי והייתי רוצה לראות דיון או קישורים בנושא.