מספרים אקראיים בין 0 ל-1

[עריסטו]

בוחרים n מספרים אקראיים בלתי תלויים בהתפלגות אחידה בין 0 ל-1.
1. מה התוחלת של המספר המינימלי ביניהם?
2. מה ההסתברות שסכום המספרים קטן מ-1?

 

[הפרבולה1]

פתרון ל 1 : יהיה x משתנה אקראי שהוא המינימום , נמצא את פונקצית הצפיפות שלו f(x ונחשב את התוחלת באמצעות אינטגרל על x*f(x) מ 0 עד 1

P(x>x0) = P(x1>x0) ∩ P(x2>x0) ∩ … ∩ P(xn>x0)  =  (1-x0)^n
P(x<=x0) =1 - (1-x0)^n
F(x) = 1 - (1-x)^n
f(x)= dF(x)/dx = n*(1-x)^(n-1)
<x> = Int x*f(x)dx   x=0…1
Int x* n*(1-x)^(n-1) dx  =  - (1-x)^n  * (nx-1) / (n+1)   = g(x)
<x> = g(1) -g(0) =1/(n+1)

​

 

[עריסטו]

פתרון ל 1 : יהיה x משתנה אקראי שהוא המינימום , נמצא את פונקצית הצפיפות שלו f(x ונחשב את התוחלת באמצעות אינטגרל על x*f(x) מ 0 עד 1

P(x>x0) = P(x1>x0) ∩ P(x2>x0) ∩ … ∩ P(xn>x0)  =  (1-x0)^n
P(x<=x0) =1 - (1-x0)^n
F(x) = 1 - (1-x)^n
f(x)= dF(x)/dx = n*(1-x)^(n-1)
<x> = Int x*f(x)dx   x=0…1
Int x* n*(1-x)^(n-1) dx  =  - (1-x)^n  * (nx-1) / (n+1)   = g(x)
<x> = g(1) -g(0) =1/(n+1)

​

יש דרך בלי חישובים...

 

[הפרבולה1]

יש דרך בלי חישובים...

אולי אפשר להסביר ככה:

n נקודות מחלקות את הקטע ל n+1 קטעים , אורך כל קטע הוא משתנה אקראי ויש n+1 משתנים אקראיים כאלו, נקרא להם Y1...Yn+1 .
ההתפלגות הסטטיסטית של Yi זהה לכל i ( בגלל ההתפלגות הססטיסטית האחידה של הנקודות ..... ) ולכן התוחלת של כל Yi שווה , סכום התוחלות של Yi שווה לתוחלת סכומם שהיא 1 , ולכן התוחלת של כל Yi היא
zzz 1/(n+1) zzz וזה נכון גם לקטע השמאלי ביותר שמייצג את המינימום.

 

[עריסטו]

אולי אפשר להסביר ככה:

n נקודות מחלקות את הקטע ל n+1 קטעים , אורך כל קטע הוא משתנה אקראי ויש n+1 משתנים אקראיים כאלו, נקרא להם Y1...Yn+1 .
ההתפלגות הסטטיסטית של Yi זהה לכל i ( בגלל ההתפלגות הססטיסטית האחידה של הנקודות ..... ) ולכן התוחלת של כל Yi שווה , סכום התוחלות של Yi שווה לתוחלת סכומם שהיא 1 , ולכן התוחלת של כל Yi היא
zzz 1/(n+1) zzz וזה נכון גם לקטע השמאלי ביותר שמייצג את המינימום.

לא לגמרי ברור למה לכל Y יש אותה התפלגות. הרי המצב לא סימטרי. למה לקטע קיצוני (בין 0 למינימום) יש אותה התפלגות כמו לכל קטע אחר? הרעיון שקראתי הוא כזה - במקום n נקודות על קטע נבחר n+1 נקודות x0, x1, ... xn על מעגל שהיקפו 1. הן מחלקות את המעגל ל - n+1 קטעים וכעת המצב סימטרי וברור שלכל קטע יש אותה התפלגות. נחתוך את המעגל בנקודה x0 ונפתח אותו לקטע ישר ונקבל n נקודות בהתפלגות אחידה על הקטע ובגלל ההתפלגות הזהה לכל קטע יש תוחלת 1 חלקי n+1.

 

[הפרבולה1]

לגבי 2
יהיה y משתנה אקראי שהוא סכום n המשתנים האקראיים.
עבור x נתון שקטן שווה ל 1 נוכיח באינדוקציה ש zzz F(x) = P(y<=x) = x^n/n! zzz
עבור n=1 מקבלים ש F(x)=x
עבור n נניח : zzz F(x)=x^n/n! zzz

נתון n+1 משתנים אקראיים ,
לפי ההנחה ההסתברות ש n הראשונים סכומם "שווה" ל y הוא zzz dy * F'( x ) = dy*y^(n-1)/(n-1)! zzz

ההסתברות ש n הראשונים סכומם "שווה" ל y וגם סכום n+1 המשתנים קטן מ x הוא zzz dy * F'( x ) *(x-y) = dy*[y^(n-1)/(n-1)! *(x-y) ] zzz

נעשה אינטגרל על ההסתברות הזאת מ 0 עד x

zzz F(x) = Int dy*[y^(n-1)/(n-1)! *(x-y) ] = x^(n+1)/(n+1)! zzz

מזה נובע שההסתברות של n משתנים קטן מ 1 הוא zzz 1/n! zzz

 

[עריסטו]

גם כאן אפשר לפתור בלי חישובים ואינטגרלים.

 

[הפרבולה1]

גם כאן אפשר לפתור בלי חישובים ואינטגרלים.

אפשר רמז ?

 

[עריסטו]

אפשר רמז ?

נעזרים בפונקציה {x} שמוגדרת כך
zzz {x}=x-floor(x)

 

[הפרבולה1]

לכל הגרלה של וקטור X= x1, x2 ....xn משתנים אקראיים נגדיר וקטור Y= y1,y2...yn ככה

y1 = x1-floor(x1)
y2 = x1+x2-floor(x1+x2)
...
yn = x1+x2+...xn -floor(x1+x2+...xn)

y מתפלג גם אחיד בקטע 0...1

ההעתקה מ X ל Y היא "כמעט" חד חד ערכית ( ההסתברות ש xi יהיה 0 או 1 היא 0 ) , אם הערכים של Y הם בסדר עולה אז סכום X קטן מ 1.
את הוקטור Y אפשר לסדר ב n! אפשרויות שרק אפשרות אחת ( בסדר עולה ) מיצגת וקטור X שסכומו קטן מ1 , אז לכל וקטור X שסכומו קטן מ 1 אפשר לבחור בהסתברות שווה עוד n!-1 וקטורי X שנותנים את אותו וקטור Y רק בסדר שונה ולכן סכום ה X יהיה גדול מ1 . לכן ההסתברות לבחור וקטור X שסכומו קטן מ 1 הוא zzz 1/n! zzz

 

[עריסטו]

לכל הגרלה של וקטור X= x1, x2 ....xn משתנים אקראיים נגדיר וקטור Y= y1,y2...yn ככה

y1 = x1-floor(x1)
y2 = x1+x2-floor(x1+x2)
...
yn = x1+x2+...xn -floor(x1+x2+...xn)

y מתפלג גם אחיד בקטע 0...1

ההעתקה מ X ל Y היא "כמעט" חד חד ערכית ( ההסתברות ש xi יהיה 0 או 1 היא 0 ) , אם הערכים של Y הם בסדר עולה אז סכום X קטן מ 1.
את הוקטור Y אפשר לסדר ב n! אפשרויות שרק אפשרות אחת ( בסדר עולה ) מיצגת וקטור X שסכומו קטן מ1 , אז לכל וקטור X שסכומו קטן מ 1 אפשר לבחור בהסתברות שווה עוד n!-1 וקטורי X שנותנים את אותו וקטור Y רק בסדר שונה ולכן סכום ה X יהיה גדול מ1 . לכן ההסתברות לבחור וקטור X שסכומו קטן מ 1 הוא zzz 1/n! zzz

נכון, לזה התכוונתי