מכתב מסורוס

[עריסטו]

ג'ורג' סורוס שולח 20 מכתבים ל-20 מתמטיקאים. במכתב הוא מודיע להם שאם בדיוק אחד מהם ישלח לו תשובה בתוך חודש, כל אחד מהם יזכה במיליון שקלים. אם אף אחד לא ישלח לו תשובה או יותר מאחד ישלח תשובה, אף אחד לא יזכה בכלום. כל אחד מהמתמטיקאים יודע שעוד 19 מתמטיקאים קיבלו מכתב זהה, אבל אין לו דרך לתקשר עם 19 המתמטיקאים האחרים. מה על מקבלי המכתבים לעשות?
עריכה: כל אחד יודע ש-19 אחרים קיבלו מכתב זהה, וכל אחד יודע שכל אחד מ- 19 האחרים יודע זאת, וכן הלאה.

 

[הפרבולה1]

כל אחד מהנמענים יכין K פתקים שעל K-1 מהם רשום "לא לשלוח תשובה" ועל אחד כתוב "כן לשלוח תשובה".
ואז כל אחד יערבב את הפתקים וישלוף אקראית פתק אחד וינהג לפני מה שהוגרל לו.
ההסתברות שאחד ורק אחד מהמתמטיקאים ישלוף את הפתק "כן לשלוח תשובה" היא:

zzz p(K) = ( 1-1/k) ^(N-1) *N/K zzz

N זה מספר המתמתטיקאים במקרה שלנו N=20

על ידי גזירה אפשר להראות שערך ה K שיתן את ההסתברות המכסימלית הוא K=N
כלומר K=20

אגב אם N שואף לאין סוף אז p(K) שואף ל zzz 1/e zzz

 

[ai27]

כל אחד מהנמענים יכין K פתקים שעל K-1 מהם רשום "לא לשלוח תשובה" ועל אחד כתוב "כן לשלוח תשובה".
ואז כל אחד יערבב את הפתקים וישלוף אקראית פתק אחד וינהג לפני מה שהוגרל לו.
ההסתברות שאחד ורק אחד מהמתמטיקאים ישלוף את הפתק "כן לשלוח תשובה" היא:

zzz p(K) = ( 1-1/k) ^(N-1) *N/K zzz

N זה מספר המתמתטיקאים במקרה שלנו N=20

על ידי גזירה אפשר להראות שערך ה K שיתן את ההסתברות המכסימלית הוא K=N
כלומר K=20

אגב אם N שואף לאין סוף אז p(K) שואף ל zzz 1/e zzz

זה רק בהנחה שהם באותו מקום.
הנחה לא טריוויית.

חלופה אחרת היא זו: מתמטיקאי שאני מייצג ישלח מכתב בו
יקבע מספור שלהם מ0 עד 19 (סדר אלפביתי)
יצויין הראשוני הקטן ביותר שגדול ממספרם (23)
וידרוש שכל אחד ישלח לכולם מספר ראשוני בעל 4 ספרות שאינן 0. מספר שלא ישלח ביום שנקבע יזכה להתעלמות, כך שאיש לא ידע מה המספרים של האחרים עד למחרת.
כל אחד יכפיל את כל המספרים שקיבל, ושארית החלוקה ב23 תקבע מי ישלח מכתב.
במידה ויצא מספר שגדול מ19
עוברים לשארית החלוקה בראשוני הבא בתור

ואם למרות הכל לא הולך עם כפל, והגענו כבר למודולו במספר עם 4 ספרות
חוזרים ל23 ומוסיפים לתוצאה את סכום המספרים שנשלחו, עד שתהיה תוצאה קטנה מ20

 

[הפרבולה1]

זה רק בהנחה שהם באותו מקום.

מה הכוונה שהם באותו מקום ?
הם לא חייבים להיות באותו מקום ובכל מקרה לפי השאלה הם לא יכולים לתקשר בניהם, הם רק יודעים שהאחרים קיבלו מכתב זהה...

הנחה לא טריוויית.

חלופה אחרת היא זו: מתמטיקאי שאני מייצג ישלח מכתב בו
יקבע מספור שלהם מ0 עד 19 (סדר אלפביתי)
יצויין הראשוני הקטן ביותר שגדול ממספרם (23)
וידרוש שכל אחד ישלח לכולם מספר ראשוני בעל 4 ספרות שאינן 0. מספר שלא ישלח ביום שנקבע יזכה להתעלמות, כך שאיש לא ידע מה המספרים של האחרים עד למחרת.
כל אחד יכפיל את כל המספרים שקיבל, ושארית החלוקה ב23 תקבע מי ישלח מכתב.
במידה ויצא מספר שגדול מ19
עוברים לשארית החלוקה בראשוני הבא בתור

ואם למרות הכל לא הולך עם כפל, והגענו כבר למודולו במספר עם 4 ספרות
חוזרים ל23 ומוסיפים לתוצאה את סכום המספרים שנשלחו, עד שתהיה תוצאה קטנה מ20

האם אתה מסתמך על כך שהם יכולים לתקשר בניהם ? אם כן אז זה פשוט, הם יחליטו בניהם מי הוא אותו אחד שרק הוא יענה לסורוס.

 

[ai27]

האם אתה מסתמך על כך שהם יכולים לתקשר בניהם ? אם כן אז זה פשוט, הם יחליטו בניהם מי הוא אותו אחד שרק הוא יענה לסורוס.

יחליטו בינהם בלי לתקשר?

 

[הפרבולה1]

יחליטו בינהם בלי לתקשר?

אמרתי שאם היה מותר להם להתקשר אחד עם השני אז האסטרטגיה היא פשוטה מאד ( מחליטים בניהם מי הוא אותו אחד שרק הוא יענה לסורוס).
הבעיה שהם לא יכולים לתקשר בניהם ולגבש אסטרטגיה מוסכמת בניהם כלשהיא , מה שידוע הוא שכל אחד יודע ש-19 אחרים קיבלו מכתב זהה, וכל אחד יודע שכל אחד מ- 19 האחרים יודע זאת, וכן הלאה .... ( ובנוסף הם עשו קורס בהסתברות )

 

[עריסטו]

נכון