מימד מרחב השורות =מימד מרחב העמודות (לינארית)

[DaveHs]

מימד מרחב השורות =מימד מרחב העמודות (לינארית)

של מטריצה כמובן.
משהו יכול בבקשה להסביר לי איך מוכיחים את זה?
חפשתי בערך 3.5 שעות בגוגל הוכחה למשפט הזה ולא הצלחתי - אני מיואש ולא רחוק מלדפוק בחזקה את הראש בקיר.

תודה רבה!

 

[עעעערררר]

ובכן

לכאורה, הדרך הטבעית ביותר להסתכל על מכפלת מטריצות היא באמצעות שורות המטריצה השמאלית ועמודות המטריצה הימנית - הרי כל איבר של התוצאה הוא סכום מכפלות איברי שורה מהכופל השמאלי ועמודה מהכופל הימני, בהתאמה.
אך הרבה פעמים שימושי להסתכל גם על עמודות הכופל השמאלי: לתוצאה ולכופל השמאלי אותו מספר שורות, כלומר, עמודותיהם באותו גודל. הסתכלות מעמיקה יותר תראה שכל עמודה של התוצאה היא צ"ל של עמודות הכופל השמאלי, כאשר העמודה המתאימה בכופל הימני מכילה את מקדמי הצ"ל.
מכאן, שמטריצה מסדר nxm ניתנת להצגה כמכפלה של מטריצה מסדר nxk במטריצה מסדר kxn, אם ורק אם ניתן להציג את עמודותיה כצ"ל של k עמודות.

באופן דומה (ותוך הסתכלות על שורות הכופל השמאלי), נקבל שהצגה כמכפלה כזאת אפשרית אמ"מ ניתן להציג את שורות המטריצה כצ"ל של k שורות.

מימד מרחב העמודות, הוא המספר k המינימלי, שעבורו ניתן להציג את עמודות המטריצה כצ"ל של k עמודות. מימד מרחב השורות, הוא המספר k המינימלי, שעבורו ניתן להציג את השורות המטריצה כצ"ל של k השורות.

לכן, מימד מרחב השורות שווה למימד מרחב העמודות.

 

[עעעערררר]

תיקון טעות: kxm ולא kxn, כמובן.

 

[ןן גיל ןן]

יופי של הוכחה!

עד היום הכרתי את ההוכחה היותר סטנדרטית האומרת שפעולת שורה ועמודה אינה משנה את מימד השורות וגם לא את מימד העמודות (למשל פעולת שורה אינה משנה את מרחב השורות, ולכן לא את מימדו, ומפעילה העתקה ליניארית הפיכה על מרחב העמודות, ולכן לא משנה גם את מימדו) - ועל ידי פעולות שורה ועמודה ניתן להביא את המטריצה לכזו שאיבריה השונים מאפס הם רק על האלכסון, ולמטריצות כאלה זה ברור שמימד השורות שווה למימד העמודות.
אבל ההוכחה שהבאת יותר אלגנטית. כל הכבוד!

 

[DaveHs]

לא הבנתי

הבנתי מה שכתבת עד הקטע פה:

"מימד מרחב העמודות, הוא המספר k המינימלי, שעבורו ניתן להציג את עמודות המטריצה כצ"ל של k עמודות. מימד מרחב השורות, הוא המספר k המינימלי, שעבורו ניתן להציג את השורות המטריצה כצ"ל של k השורות.

לכן, מימד מרחב השורות שווה למימד מרחב העמודות."

יכול להיות שיש עמודות/שורות תלויות לינארית, ויכול להיות בכלל שמספר השורות של המטריצה לא שווה למספר העמודות.

 

[עעעערררר]

ובכן

קודם כל, תיקון נוסף: בשורה שלפני מה שציטטת, מסתכלים על שורות הכופל הימני (ולא השמאלי). אני כנראה צריך להפסיק לכתוב הוכחות בשעות כאלה...

גם אם יש עמודות ת"ל, קבוצה מינימלית שכל העמודות הן צ"ל שלה היא בסיס למרחב העמודות.

ולא הבנתי איך זה שמספר השורות שונה ממספר העמודות משנה משהו.

 

[DaveHs]

למה 2 "הקבוצות המינמליות" שוות בגודלן?

 

[הפרבולה]

אם הבנתי נכון את ההוכחה של עעעערררר

אז יהי מימד השורות = a ,ומימד העמודות = b

מצד אחד הוא הראה ש a<=b ומצד שני הוא הראה גם ש b<=a ולכן a=b

 

[ןן גיל ןן]

שאלה

איפה נתקלת בהוכחה הנ"ל? או שעלית עליה לבד?

 

[עעעערררר]

היא מופיעה

בספר של ד"ר צבאן http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/linear.pdf כתרגיל (בעמוד 48)
אני לא זוכר אם זו ההוכחה שלמדתי אצלו בזמנו.

חיפשתי עכשיו קצת, וראיתי שהיא גם מופיעה בוויקיפדיה: http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_(linear_algebra)#First_proof

 

[עעעערררר]

וסיפור קצר

בקורס "לינארית 1", שלמדתי אצל ד"ר צבאן לפני 7 שנים, היו שני משפטים מרכזיים: משפט המימד (שסכום מימדי תתי-מרחב שווה לסכום ממדי האיחוד והחיתוך) ומשפט הדרגה (שדרגת השורות של מטריצה שווה לדרגת העמודות שלה).
בשבועות האחרון לקורס, המרצה אמר כמה פעמים שאולי נידרש בבחינה להוכיח משפטים מהקורס, ולכן כדאי לחזור על הוכחות של משפטים, כגון משפט המימד.
הנחתי שהשאלה לא תהיה בדיוק מה שהמרצה אמר, ולכן שיננתי את הוכחת משפט הדרגה, ואכן היתה שאלה כזאת במבחן.

 

[ןן גיל ןן]

תודה!

 

[Angley]

הוכחה

הדרגה של A שווה לדרגה של rank(A)=rank(A^t) A^t מכיוון שאם מכפילים את A בn מטריצות אלמנטריות מקבלים מטריצה קנונית בעלת דרגה מסויימת ואם מכפילים את A טרנספוז בטרנספוז של אותן מטריצות אלמנטריות מקבלים מטריצה קנונית בעלת אותה דרגה:
a*b)^t=a^t*b^t) => (e(e(...(e(A)))))^t=e^t*e^t...*e^t*A^t)

הדרגה של A שווה למימד מרחב השורות של A : כי השורות של A הן קבוצה פורשת למרחב השורות, אם מורידים את התליות ליניארית מקבלים בסיס במימד מסוים, וכאשר מדרגים בעצם עושים את אותה פעולה, מאפסים שורות תלויות ליניארית ובודקים כמה שורות בת"ל נשארו.

ומכיוון שהדרגה של A שווה לדרגה של A טרנספוז, ובA טרנספוז מרחב השורות הוא מרחב העמודות של A מקבלים שמימד מרחב השורות שווה למימד מרחב העמודות:
dim(rowA)=rank(A)=rank(A^t)=dim(rowA^t)=dim(colA) zzz

 

[DaveHs]

די משוכנע כשהוכחה שלך לא נכונה/קבילה

1. זה לא נכון:
a*b)^t=a^t*b^t)
אלא:
a*b)^t=b^t*a^t)

2. חוץ מזה אני לא חושב שאתה יכול להשתמש ב- הדרגה של A שווה לדרגה של A טרנספוז.
כי זה בעצם אומר בדיוק את מה שצריך להוכיח שמימד מרחב השורות שווה למימד מרחב העמודות.....

 

[איייייל]

הוא לא סתם השתמש בזה, הוא הסביר למה זה נכון

למעשה ההוכחה שהוא הציג היא ההוכחה הסטנדרטית (מעבירים את A לצורה קנונית ע"י כפל במטריצות אלמנטריות, ומשתמשים בעובדה שכפל במטריצה אלמנטרית אינו משנה את הדרגה)

 

[Angley]

אתה צודק

טעיתי בחוק של הטרנספוז, זה באמת כמו שכתבת.
אבל הרעיון נכון. אפשר להסביר את זה בכמה דרכים, ואולי הדרך שבחרתי לא הכי טובה. השאלה כמה אתה רוצה להשתמש במשפטים קודמים או ללכת אל הברזלים.
הדרך הכי פשוטה היא להבין שברגע שאתה מדרג את A מימד מרחב השורות הוא מספר השורות שלא התאפסו, אבל גם מספר העמודות שיש בהן מקדם מוביל הן מימד העמודות.
כמו שמוסבר הסרטון הבא:
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=tqqVOWm9YsU

אם אתה רוצה הוכחה יותר "ברזלית" עדיף שאני אשאיר לטובים ממני להסביר את זה, הנה סרטון של פרופ' דוד צילג ז"ל:
http://www.youtube.com/watch?v=zXrR2btfiHk

שוב סליחה על הטעות.