האם התכוונת שחשבון הדוא״ל הוא בבזק בינלאומי?
אני משערת שאתה מתחבר לחשבון בתצורת POP3. בתצורה כזו, הראשון שמוריד את האימייל מהשרת, מקבל אותו ומוחק מהשרת - אלא אם הגדרת להשאיר עותק על השרת, כדי שגם התוכנה השניה תוכל להוריד.
אני ממליצה לעבור לאימייל בתצורת IMAP שלא מגבילה בצורה כזו (אם בזק בינלאומי לא מאפשרת, עזוב אותם. ממילא כדאי מאוד לא להיות תלוי בספק האינטרנט עבור האימייל, לא חסרים היום שירותי אימייל עצמאיים שנותנים יותר ועולים כלום)
ואם לא, להגדיר גם באאוטלוק וגם בהגדרות של מייל באייפון, להשאיר עותק של ההודעות על השרת.