מטעני דמות

[unknown9898]

מטעני דמות

נגיד ויש לי מישור אינסופי, ומטען נקודתי Q במרחק A מהמישור. המישור הינו מוליך ומוארק. 1) מכיוון שהמישור מוליך, תיווצר בו התפלגות מטען כתוצאה מהמטען הנקודתי Q? 2) אמרו לנו שהתפלגות זו מסובכת, ולכן ישנה שיטה של מטעני דמות ע"מ לפשט את הבעיה. שיטה זו מבססת על יחידות פתרונה של משוואת פוואסון. לפי מה שאמורים לעשות, זה להציב מטען Q- במרחק A בצד השני של המישור. אז, הפוטנציאל על המישור הוא אפס.. וזה בעצם תנאי השפה שמדברים עליהם? כי אני לא מבין למה הבעיות האלו שקולות..

 

[johngalt2]

נסיון להסבר

1. כן, המטען עליו יהיה בדיוק Q-. ניתן להוכיח את זה לפי שיטת הדמויות - מוצאים את השדה שלו בכל נק' על השפה, משווים את זה לארבע פאי סיגמה, ומשם מוצאים את צפיפות המטען. עושים אינטגרציה על הכל ויוצא Q-. 2. לדעתי היא דווקא מבוססת על יחידות פתרונה של משוואת לפלאס. בכל אופן, כן - הפוטנציאל על המישור הוא אפס, כי הוא מוארק. עכשיו, גם אם תיקח שני מטענים, q+ ו- q-, במישור שמאונך לקו שמחבר ביניהם ונמצא במרחק שווה משניהם (ננח שהמרחק הוא 2d) הפוטנציאל יהיה אפס (בתנאי שמגדירים את הפוטנציאל באינסוף להיות אפס). זה ברור, כי המשטח הזה הוא אינסופי, ואם תביא מטען אחר מאינסוף דרך המסלול שלו לא תבצע עבודה בכלל. מכאן שזו בעיה עם תנאי שפה זהים לזו של מטען נקודתי q שנמצא במרחק d ממישור אינסופי.

 

[ארול01]

תוספת

הפתרון יהיה נכון רק בחצי המישור המכיל את המטען האמיתי. בחצי השני השדה 0 בכל מקום.

 

[john schmidt]

כלומר

אם נתון לי זוג מטענים Q ו-Q- שעובר ביניהם מישור מוארק (באופן סימטרי), אז בעצם אפשר להתעלם מהמישור כי תנאי השפה מתמלאים ממילא?

 

[unknown9898]

שאלה טובה!

מצטרף אליה

נראה לי שהתשובה היא לא, כי שני המטענים Q ו Q- הם מטענים "אמיתיים". למשל, הכוח ההדדי שיפעל על המטענים יהיה סופרפוזיציה של הכוח ההדדי של שניהם לבד, והכוח שמפעיל המישור על כול אחד מהם לחוד. מצד אחד של המישור, יצטברו מטענים שליליים (כי זה מוליך) הנמשכים למטען Q, ומצידו השני יצטברו מטענים חיוביים (נזניח דקויות..) הנמשכים למטען Q-. כלומר תיווצר צפיפות משטחית סיגמה על כול אחד משפות המישור, אשר כשלעצמה מפעילה כוחות על המטענים. כך, שאני חושב שעל מנת לפתור את הבעיה, צריך להוסיף עוד 2 מטעני דמה.. אבל אז אני לגמרי לא בטוח לגבי תקפות הפיתרון (כי אמרו משהו שיש חשיבות לאיזור שבו פותרים את הבעיה, ואם נשים משני צדדיו של המישור מטענים דימיוניים אזי זה בעיה, לא?)

 

[john schmidt]

לפי "חשמל ומגנטיות" של הפתוחה

תנאי הכרחי ומספיק הוא שמשפט היחידות יתקיים עבור פוטנציאלים. הסיבה היא שאם הצלחת "לייבא" תנאי שפה זהים, אז בכל מקרה הגרדיינט יהיה זהה, ומכאן שגם השדה החשמלי והכוחות.

 

[johngalt2]

זו באמת שאלה טובה

אני די בטוח שמה שיקרה זה מה ש- unknown9898 אמר: על השפה של המוליך שקורב ל- Q+ יושרה מטען Q-, והבעיה *בחצי הזה של הטבלה* תהיה בדיוק כמו הבעיה הקודמת של מטען ליד טבלה מוליכה אינסופית מוארקת. בתוך המוליך יהיה שדה אפס, ופוטנציאל קבוע, והאזור הזה של שדה אפס למעשה "ימסך" בין שני הצדדים. בשפה השנייה של המוליך יקרה בדיוק אותו דבר, רק עם מטענים בסימנים הפוכים. מה שחושב להבין זה שהעובדה שהשדה חייב להתאפס בתוך המוליך גורמת לכך שמה שקורה בצד אחד של המוליך לא משפיע בכלל על הצד השני. חוץ מזה, ברור שתנאי השפה יהיו בדיוק אותם תנאי שפה - כי אחרת שיטת הדמויות כאן לא הייתה נכונה.

 

[ארול01]

כן

משוואות מקסוול ותנאי השפה לא ישתנו. ולכן הפתרון לא ישתנה.

 

[john schmidt]

תודה, ושאלה נוספת

אם אני מעוניין לחשב את האנרגיה האלקטרוסטטית הכוללת של המערכת. למשל במקרה הפשוט - מטען אמיתי בודד ומישור אינסופי מוארק. האם עליי לבצע אינטגרל על פני כל המישור? או שמותר להסתמך על מטען הדמות?

 

[johngalt2]

למה שלא

תעשה אינטגרל על השדה:

U = 1/(8π) ∫∫∫ E^2 dV​

? אתה הרי יודע שזה זהה לשדה של דיפול. (כמובן שצריך לעשות רק על הצד שבו המטען נמצא!) אני לא בטוח שאני יודע אבל איך עושים כזה דבר מבחינה טכנית... רעיון אחר: תחשב את העבודה שבוצעה בהבאת המטען מאינסוף למרחק הנתון מהמוליך. לדעתי זה יעבוד.

 

[ארול01]

לדעתי אתה צודק