מה זה רדיקל???

[the man is back]

מה זה רדיקל???

 

[yatir]

נראה לי שזה מספרים שניתנים

ע"י פעולה של חיבור חיסור כפל חילוק חזקה והוצאת שורש. בטח שמעת את זה במשפט כמו:"המשוואה לא יכולה להיפתר ע"י רדיקלים" זאת אומרת שאי אפשר להגיע לפתרון ע"י הפעולות הנ"ל. (למשל משוואה ממעלה ריבועית נפתרת ע"י רדיקלים, גם כן שלישית ורביעית, אך הוכיחו שמעל חמישית אי אפשר)

 

[the man is back]

לא נראה לי

נראה לי להפך שרדיקל זה לא 4 פעולות החשבון אלא משהו אחר. כי דווקא הוכיחו שניתן לפתור משוואה ממעלה ה-5 (למעשה כל פולינום) עם רדיקלים. ד"כ: רדיקל זה איזשהו משהו שהוכיח המתמטיקאי הצרפתי אווריסט גלואה.

 

[yatir]

נכון... גלואה ואבל הוכיחו בנפרד שאי

אפשר (ואני חוזר: אי אפשר) לפתור משוואות ממעלה חמישית ומעלה ע"י רדיקלים.

 

[the man is back]

אז איך פותרים פולינומים במעלה ה-5?

 

[איגור קרסיק]

רק בקירובים...

למראת שלפעמים ניתן לפתור בצורה מדויקת...

 

[1ca1]

פתרון משוואות ממעלה חמישית ומעלה

אפשר ע"י קירובים כמו ניוטון-ראפסון וכו´ ואפשר גם לפעמים לזהות שורשים שמקורם במספרים טריוויאליים (1,0 וכו´) ואז פשוט לבצע חלוקת פולינומים ולהקטין את מעלת הפולינום ד"א מאחר שמשוואה ממעלה חמישית אינה פתירה זה לא אומר שאין לה שורש כי לפי המשפט היסודי של האלגברה (שניתנו לו מספר הוכחות ע"י גאוס ודאלאמבר ועוד כמה) יש לכל פולינום לפחות שורש מרוכב אחד.

 

[איגור קרסיק]

סתם משהו

הידעת שניתן להוכיח את המשפט היסודי של האלגברה ב-3 עד 4 שורות! וזה בעזרת , איך לא, פונקציות מרוכבות. מה שנחמד שהוכחת המשפט מתבססת על משפטים שדי קלים להוכחה...

 

[yatir]

פותרים משוואות

ממעלה חמישית, לרוב ע"י הצבות שונות שכך מקווצים את המשוואה לצורה שיותר נוח להתעסק איתה ולפתור אותה. איגור, אתה מדבר על החלק השני במשפט היסודי של האלגברה, שלפולינום ממעלה n יש n פתרונות מרוכבים, את זה כבר הצליחו לפתור בתקופתו של אוילר, אך למה אומרים שגאוס הוא זה שהוכיח את המשפט? בגלל שהוא הוכיח משהו שהאחרים לא חשבו עליו (זה נובע מכך שההגדרה והדרישות לקפדנות השתנו לאורך השנים) שלמשווה ממעלה n יש בכלל שורש...זה החלק הקשה.

 

[איגור קרסיק]

על זה דיברתי.

 

[איייייל]

אתה מדבר על ההוכחה

שמסתמכת על זה שאם פונקציה אנליטית חסומה אז היא קבועה? (ואז אם ל p אין שורשים אז 1/p קבועה, כלומר p קבועה - לפחות ככה הוכיחו את זה אצלנו...)

 

[איגור קרסיק]

יש עוד 2 דרכים

1. בעזרת טורי טיילור. 2. בעזרת משפט רושה

 

[איגור קרסיק]

....

התבלבלתי עם משפט ליוביל, אז שכח מ-1. אבל בכול זאת ניתן להוכיח גם עם משפט רושה!

 

[yatir]

מה זה משפט רושה?

 

[איגור קרסיק]

משפט רושה

שגם הוא מתורת הפונקציות המרוכבות אומר: יהיו f,g אנליטיות בתחום R. יהי C קונטור סגור-פשוט המוכל יחד עם פנימו ב-R. נניח שמתקים

abs(f(z))>abs(g(z))​

לכל z ב-C, אז ל-f ול-f+g אותו מספר אפסים בפנים של C כאשר כל אחד מן האפסים נספר ע"פ סדרו.

 

[yatir]

תודה!