מה זה השדה הזה ?

[גדי20152015]

מה זה השדה הזה ?

למדנו בליניארית שה"מפתח" להבנה ובנייה פורמלית של שדה המרוכבים מתוך הממשיים היא להגדיר על R^2 פעולות חיבור וכפל כך שיווצר שדה. למעשה השינוי היחיד (והמשמעותי) הוא בהגדרת פעולת הכפל:
zzz (a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc) zzz
ומראים שזה מקיים את כל אקסיומות השדה וכו' וכו'.

אז חשבתי היום שאפשר להרחיב את זה ועל אותו רעיון להגדיר גם ב R^3 פעולת כפל "מיוחדת" ואולי לקבל שדה. אז על רעיון דומה לזה הנ"ל אפשר להגדיר פעולות חיבור וכפל כמו שמצורף בתמונה.

השאלות:
1) האם זה באמת שדה ? (בדקתי את האקסיומות ויצא לי שכן...)
2) אם כן, איזה שדה זה ? יש לו שם ?

תודה

 

[1ca1]

זה לא שדה

ואפשר להראות את זה דרך אלגברה לינארית.
אם נקבע וקטור (a,b,c), הכפל של הוקטור ב-(d,e,f) היא העתקה לינארית (קצת קשה לראות את זה בכתיבה שלך כי זה קצת מבלבל עם האותיות, אבל זה עובד), ומכאן היא מיוצגת ע"י מטריצה.
מחשבים דטרמיננטה ומקבלים שזה שווה ל- a^3+b^3+3abc-c^3 אם לא טעיתי.
קובעים למשל a=b=1 ואז נניח c=2 ומקבלים שהדטרמיננטה היא אפס.
כלומר יש וקטור לא-טריוויאלי (d,e,f) כך שהמטריצה הזו מעבירה אותה לוקטור האפס, כלומר יהיו לך מחלקי אפס בשדה.
&nbsp
(גם אם טעיתי בחישוב הדטרמיננטה הזו, קל לראות שמקבלים אחרי שמקבעים את a,b פולינום ממעלה שלישית ב-c, ולכן יהיה אפס תמיד למצוא לו שורש, צריך רק לדאוג שלא יהיה אפס למשל).
&nbsp
כנראה שיש לך טעות באחת מאקסיומות הכפל (מציאת הופכי כפלי למשל, שתערב "הפיכת" המטריצה הזו).
&nbsp
נ.ב. הסיפור של אלגברה לינארית עם הפיכת R^2 לשדה הוא נחמד אבל די קרה בטעות.
הדרך האמיתית היא להסתכל על R, להוסיף את i (בדרך יותר מתוחכמת מאשר להוסיף סתם מספר, שלומדים בקורס מבנים אלגבריים, C=R[x]/<x^2+1> ), ואז להבין שזה מ"ו מעל R, ומימדו הוא 2, ולכן במקרה הוא איזומורפי ל-R^2 ולראות איך נראית שם המכפלה וכו'.

 

[1ca1]

ותרגיל בשבילך

להבין מדוע הטריק עם הדטרמיננטה שביצעתי לא יעבוד ב-R^2.
הרעיון - יש פולינומים ממעלה 2 מעל R שאינם בעלי שורש ב-R.
או מאלגברה לינארית - המטריצה שמסתתרת מאחורי הכפל ב-C בייצוג הזה, היא בעצם מטריצת סיבוב (ומתיחה), כי זה מה שמכפלה מרוכבת עושה, ומטריצת סיבוב תהיה הפיכה.

 

[1ca1]

וד"א, ממליץ לך לחפש בוויקיפדיה

על קווטרניונים ואוקטניונים.
מטעמים שאני לא אפרוש פה, הם הדברים היחידים שאפשר לעשות עליהם "בנייה דומה" לבנייה של C, אבל הם לא יוצאים בדיוק שדות.

 

[גדי20152015]

כן, כי הדטרמיננטה של "כפל" במרוכבים היא

a^2+b^2. וזה אף פעם לא אפס אא"כ a=b=0.

ד"א, אפשר להגדיר מטריצה למשל ב-R^4 שהדטרמיננטה שלה תהיה
2^(a^2+b^2+c^2+d^2)
אבל ניסיתי קצת לשחק עם זה והכפל שהיא מגדירה אף פעם לא יוצא קומוטטיבי.

 

[1ca1]

נכון, לזה קוראים קווטרניונים

https://he.wikipedia.org/wiki/אלגברת_הקווטרניונים_של_המילטון

 

[גדי20152015]

מגניב !

 

[גדי20152015]

צודק, אכן יש מחלקי אפס במה שהגדרתי

כנראה שבאמת אצטרך לחכות לקורס מבנים אלגבריים...
ד"א, מה שכתבת בנ.ב זה ששדה המרוכבים הוא המנה של חוג הפולינומים מעל R בפולינום x^2+1 ?

 

[1ca1]

נכון

יותר נכון, באידיאל שנוצר ע"י הפולינום x^2+1.
משאיר לך ללמוד את החומר של הקורס מבנים 1, ואז לחזור לזה

.

 

[1ca1]

ועוד הערה נוספת

בקורס מבנים 2 מלמדים שאין שדה שיהיה מ"ו ממימד 3 (או למעשה, כל מימד גדול מ-2) מעל R.
או שיהיה מימד 1 (כלומר, זה R עצמו), או מימד 2 (ואז זהו שדה שאיזומורפי ל-C).
&nbsp
מעל Q המצב שונה לחלוטין.
&nbsp
ולכן, הדרך שתיארת (לקחו את R^2 ושיחקו בו וקיבלו משהו), היא לא הדרך הנכונה להסתכל על הנושא ולבנות שדות. [וכמו שתיארתי, מטעמים אחרים, כן אפשר לעשות משהו ב-R^4,R^8 אבל לא מקבלים בדיוק שדות].
&nbsp
מה שכן נכון, בתורת המספרים האלגברית, כן מסתכלים על דברים כמו Q^n מעל Q ולומדים מהם על שדות מספרים (יותר נכון - משכנים הרבה עותקים של השדה ב-Q^n, במגוון צורות, ואז מסתכלים על איך נראה שם ייצוג לכפל במספרים מסויימים, בדיוק כמו שניסית לחשב).