לינארית

[R136a1]

לינארית

אשמח לעזרה בשאלה הבאה:
נתונות שתי מטריצות מרוכבות מסדר N. נתון ששתיהן חיוביות לחלוטין. צריך להוכיח שלמכפלה שלהן יש רק ערכים עצמיים חיוביים.

תודה.

 

[R136a1]

בבקשה...

מישהו?

 

[1ca1]

תשובה

מטריצה היא חיובית לחלוטין אם zz <Av,v> >0 zz לכל v שונה מאפס, מספיק כמובן לבדוק על בסיס.
כעת נזכור שמטריצה חיובית לחלוטין היא בפרט הרמיטית ולכן נורמלית ולכן לכסינה (אוניטרית).
אז נניח שיש לנו זוג מטריצות חיובית לחלוטין A,B, נבחר בסיס אורתונורמלי מלכסן של A כך ש- Avi=tivi ו-ti>0.
אז נחשב
zz <BAvi,vi>=ti<Bvi,vi> > 0 zz
כי המכפלה הפנימית גדולה מאפס (כי B חיובית לחלוטין) ו-ti>0 (כי A חיובית לחלוטין).
אז לכל vi ו-vi בסיס ולכן זה נכון תמיד.
כלומר BA חיובית לחלוטין.

 

[R136a1]

אבל BA לא חייבת להיות צמודה לעצמה

ולכן לא חייבת להיות חיובית לחלוטין

 

[R136a1]

האמת שלא צריך לדרוש חיוביות לחלוטין

השאלה היא איך אני מראה שאם הטענה נכונה עבור בסיס היא נכונה עבור כל וקטור. זה לא מסתדר לי ..
&nbsp
תודה רבה.
&nbsp

 

[R136a1]

................

מישהו יכול לעזור לי להכליל את זה?
תודה.

 

[עעעערררר]

הדרכה

תניח בשלילה שיש ע"ע לא חיובי, וקח ו"ע שלו v.
מה אפשר לומר על <v,Bv> ועל <ABv,Bv>?

 

[R136a1]

ששני

הביטויים חיוביים ולכן גם הערך עצמי חיובי....
&nbsp
אני לא מאמין ישבתי על זה אתמול יום שלם
תודה רבה לך!