זו רק שאלה של סבלנות.
כפל מטריצות XY מוגדר כאשר מספר הטורים במטריצה X שווה למספר השורות במטריצה Y. ואז: מספר הטורים במטריצה XY שווה למספר הטורים במטריצה Y, ומספר השורות במטריצה XY שווה למספר השורות במטריצה X. והאבר בטור ה-i-י ובשורה ה-j-ית של XY שווה למכפלה הסקלרית של השורה ה-j-ית של X והטור ה-i-י של Y. סכום מטריצות X+Y מוגדר כאשר מספר השורות ומספר הטורים בשתי המטריצות שווים. זה יהיה גם מספר השורות והטורים במטריצה X+Y, והאבר בטור ה-i-י ובשורה ה-j-ית של XY שווה לסכום אותם אברים ב-X וב-Y. אם מוגדר האגף השמאלי, אז מספר השורות והטורים שווה בשלוש המטריצות B, C, ו-B+C, מספר הטורים ב-B+C שווה למספר השורות ב-A (אחרת לא מוגדר הכפל שלהן). נגיד ב-B ב-C וב-B+C יש k טורים ו-n שורות, וב-A יש n טורים ו-m שורות, ובמטריצה (A(B+C יש k טורים ו-m שורות, ותרשום\תרשמי לבד למה שווה האבר הכללי שלה. ואז (עם מידות אלו של המטריצות) אפשר גם להכפיל AB, ו-AC, ומתקבלות שתי מטריצות במידות של תוצאת האגף השמאלי, ותכתוב\תכתבי למה שווה האבר הכללי של שתיהן, ומכיוון שלשתיהן אותן מידות אפשר גם לחבר AB+AC, ושוב יתקבלו אותן מידות, וגם האבר הכללי יהיה שווה לאבר הכללי של האגף השמאלי. עכשיו החלק השני: נגיד שמוגדר האגף הימני. אם אפשר לחבר את שתי המטריצות AB ו-AC, משמע המידות של שתיהן שוות, נגיד k טורים ו-m שורות. עכשיו לחוד: אם מוגדרת אחת מהן, AB, משמע מספר השורות של B שווה למספר הטורים של A, נגיד הם שווים n. אז כדי שתהיה מוגדרת AC, גם מספר השורות של C חייב להיות n. ובכן, מספר השורות של B ו-C שווים. אבל גם מספר הטורים שלהן שווה: הוא שווה למספר הטורים של AB ו-AC, כלומר ל-k. ומכיוון שהמידות של B ו-C שוות, אפשר לחבר אותן, וגם למטריצה B+C יהיו k טורים ו-n שורות, וניתן להכפיל (A(B+C. ושוב אשאיר לך את מלאכת כתיבת האבר הכללי. האם הכל ברור, או צריך לפרט יותר?
