כמה פתרונות?

[עריסטו]

מצאו ללא עזרת מחשב:
כמה זוגות של מספרים שלמים חיוביים a, b מקיימים את השוויון
zzz 1/720 = 1/a + 1/b
וכמה זוגות של מספרים שלמים חיוביים a, b מקיימים את השוויון
zzz 720 = a + (a+1) + ... + (a+b)

 

[Lucifer LightBringer]

בשאלה השנייה אגף ימין שווה מסכימת האיברים ל- a(b+1)+b(b+1)/2=720=(b+1)(a+b/2).
מאחר ש-a,b שלמים בהכרח b מספר זוגי מהפירוק הנ"ל.
טוב, אני לא בטוח ש-b הוא בהכרח זוגי...

לא נגעתי בתורת המספרים כבר כמה שנים טובות.

 

[הפרבולה1]

ניסיון בשאלה הראשונה:
269
הסבר:
ל 720 יש 30 מחלקים, כל זוג סדור של מחלקים זרים מייצר 4 פתרונות ( מתוכם 2 פתרונות עם איבר שלילי ) למעט הזוג (1,1) שמייצר פתרון בודד a=1440 b=1440
מספירה קומבינטורית יש 68 זוגות כאלו ולכן zzz 67 * 4 +1 =269 zzz

 

[עריסטו]

ניסיון בשאלה הראשונה:
269
הסבר:
ל 720 יש 30 מחלקים, כל זוג סדור של מחלקים זרים מייצר 4 פתרונות ( מתוכם 2 פתרונות עם איבר שלילי ) למעט הזוג (1,1) שמייצר פתרון בודד a=1440 b=1440
מספירה קומבינטורית יש 68 זוגות כאלו ולכן zzz 67 * 4 +1 =269 zzz

השאלה היתה כמה פתרונות יש במספרים שלמים חיוביים. בלי מספרים שליליים.

 

[הפרבולה1]

השאלה היתה כמה פתרונות יש במספרים שלמים חיוביים. בלי מספרים שליליים.

אם נסלק את הפתרונות עם מספרים שליליים אז יצא לי zzz 67 *2 +1 = 135 zzz

אם נחשיב אותו פתרון עבור 2 מקרים שנבדלים רק בזה ש a מתחלף עם b אז יוצא 68

 

[עריסטו]

אם נסלק את הפתרונות עם מספרים שליליים אז יצא לי zzz 67 *2 +1 = 135 zzz

נכון
יש דרך אחרת:
אם zzz 1/720=1/a+1/b כאשר a,b טבעיים ברור ש-a,b גדולים מ-720. נסמן
m=a-720
n=b-720
כלומר
zzz 1/720=1/(720+m)+1/(720+n)
מקבלים שזה שקול ל-
mn=720^2
ולכן מספר הפתרונות הוא מספר המחלקים של 2^720 שהוא 135.
זה נותן אותה תשובה כמו שקיבלת כי מכל זוג מחלקים זרים של 720 אפשר לקבל מחלקים של 2^720: אם המחלקים הזרים הם x,y אז 720x/y ו- 720y/x הם מחלקים של 2^720. ולהיפך - אם נתונים mn שמכפלתם היא 2^720, נחשב את m/720 או n/720 ונצמצם את השבר. המונה והמכנה הם מחלקים זרים של 720.

 

[הפרבולה1]

נכון
יש דרך אחרת:
אם zzz 1/720=1/a+1/b כאשר a,b טבעיים ברור ש-a,b גדולים מ-720. נסמן
m=a-720
n=b-720
כלומר
zzz 1/720=1/(720+m)+1/(720+n)
מקבלים שזה שקול ל-
mn=720^2
ולכן מספר הפתרונות הוא מספר המחלקים של 2^720 שהוא 135.
זה נותן אותה תשובה כמו שקיבלת כי מכל זוג מחלקים זרים של 720 אפשר לקבל מחלקים של 2^720: אם המחלקים הזרים הם x,y אז 720x/y ו- 720y/x הם מחלקים של 2^720. ולהיפך - אם נתונים mn שמכפלתם היא 2^720, נחשב את m/720 או n/720 ונצמצם את השבר. המונה והמכנה הם מחלקים זרים של 720.

נחמד, הדרך שלך עם m,n יותר קצרה.

 

[Lucifer LightBringer]

נכון
יש דרך אחרת:
אם zzz 1/720=1/a+1/b כאשר a,b טבעיים ברור ש-a,b גדולים מ-720. נסמן
m=a-720
n=b-720
כלומר
zzz 1/720=1/(720+m)+1/(720+n)
מקבלים שזה שקול ל-
mn=720^2
ולכן מספר הפתרונות הוא מספר המחלקים של 2^720 שהוא 135.
זה נותן אותה תשובה כמו שקיבלת כי מכל זוג מחלקים זרים של 720 אפשר לקבל מחלקים של 2^720: אם המחלקים הזרים הם x,y אז 720x/y ו- 720y/x הם מחלקים של 2^720. ולהיפך - אם נתונים mn שמכפלתם היא 2^720, נחשב את m/720 או n/720 ונצמצם את השבר. המונה והמכנה הם מחלקים זרים של 720.

רגע רגע, למה mn=720^2? איך זה נובע מהשורה הקודמת? קפצת פה על משהו שלא ברור לי.
וגם מדוע a,b>720?
הרי יש לנו ab/(a+b)=720 אוקיי מזה מובן שמתקיים: a(b-720)=720b ואם a,b>1 והם מספרים טבעיים בהכרח b>720 אבל למה a גדול מ-720?
חסר לי פה משהו. (אוקיי הבנתי למה a>720).

 

[הפרבולה1]

רגע רגע, למה mn=720^2? איך זה נובע מהשורה הקודמת? קפצת פה על משהו שלא ברור לי.

תפתח את הבטוי zzz 1/720=1/(720+m)+1/(720+n) zzz

אחרי שמכפילים את 2 האגפים ב zzz 720*(720+n)*(720+m) zzz מקבלים:

zzz (720 +m )*(720 +n) = 720*(720+m) + 720 * (720 +m) zzz

אתה מוזמן להמשיך ...

 

[Lucifer LightBringer]

תפתח את הבטוי zzz 1/720=1/(720+m)+1/(720+n) zzz

אחרי שמכפילים את 2 האגפים ב zzz 720*(720+n)*(720+m) zzz מקבלים:

zzz (720 +m )*(720 +n) = 720*(720+m) + 720 * (720 +m) zzz

אתה מוזמן להמשיך ...

אה כן לא שמתי לב שה-m+n מתבטל.

מה שנקרא טריויאלי.
מה הטריק בשאלה האחרת?

Trivial -- from Wolfram MathWorld

Related to or being the mathematically most simple case. More generally, the word "trivial" is used to describe any result which requires little or no effort to derive or prove. The word originates from the Latin trivium, which was the lower division of the seven liberal arts in medieval...

mathworld.wolfram.com

דרך אגב האם לרטוריקה יש לוגיקה משלה? (סתם חפירה פילוסופית... ).

 

[עריסטו]

רגע רגע, למה mn=720^2? איך זה נובע מהשורה הקודמת? קפצת פה על משהו שלא ברור לי.
וגם מדוע a,b>720?
הרי יש לנו ab/(a+b)=720 אוקיי מזה מובן שמתקיים: a(b-720)=720b ואם a,b>1 והם מספרים טבעיים בהכרח b>720 אבל למה a גדול מ-720?
חסר לי פה משהו. (אוקיי הבנתי למה a>720).

לגבי mn=720^2 פשוט תעשה את האלגברה...
לגבי למה a גדול מ-720 - אתה רציני? המשוואה zzz 1/720=1/a+1/b סימטרית ביחס לשני המשתנים. איך זה אפשרי להבין למה b>720 ולא להבין למה a>720?
בנוסף
מהשוויון הנתון zzz 1/720=1/a+1/b ברור ש-a,b גדולים מ-720. הרי שני השברים באגף הימני קטנים מ-1/720. אין שום צורך להסתבך ולהמיר את השוויון ל - ab/(a+b)=720.

 

[הפרבולה1]

השאלה השניה:
לפי נוסחת סכום טור חשבוני מקבלים:
zzz 1440 = (2*a+b)*(b+1) zzz
נסמן
m=(2*a+b)
n=b+1
אז 1440 = m*n
m,n מחלקים של 1440 , בנוסף אם m זוגי אז n לא זוגי ולהיפך, כלומר אחד מהם חייב להיות זוגי והשני חייב להיות אי זוגי ומכפלתם שווה 1440.

החזקה הגבוהה ביותר של 2 שמחלקת את 1440 היא 32 , לכן מכל מחלקי 1440, m או n יכולים להיות רק אלו שמתחלקים ב 32 כדי שהגורם השני יהיה לא זוגי , ואלו המחלקים:
32 96 160 288 480 1440
והמשלימים להם ( כלומר 1440 חלקי אותם מחלקים )
45 15 9 5 3 1

מכל נובע שהפתרונות האפשריים הם:

a=7 b=31
a=41 b=14
a=76 b=8
a=142 b=4
a=239 b=2
a=720 b=0

הערה: אם נוריד את הפתרון ש b=0 ( כי בשאלה מתבקש רק פתרונות חיוביים ) אז יש לנו 5 פתרונות.

 

[Lucifer LightBringer]

השאלה השניה:
לפי נוסחת סכום טור חשבוני מקבלים:
zzz 1440 = (2*a+b)*(b+1) zzz
נסמן
m=(2*a+b)
n=b+1
אז 1440 = m*n
m,n מחלקים של 1440 , בנוסף אם m זוגי אז n לא זוגי ולהיפך, כלומר אחד מהם חייב להיות זוגי והשני חייב להיות אי זוגי ומכפלתם שווה 1440.

החזקה הגבוהה ביותר של 2 שמחלקת את 1440 היא 32 , לכן מכל מחלקי 1440, m או n יכולים להיות רק אלו שמתחלקים ב 32 כדי שהגורם השני יהיה לא זוגי , ואלו המחלקים:
32 96 160 288 480 1440
והמשלימים להם ( כלומר 1440 חלקי אותם מחלקים )
45 15 9 5 3 1

מכל נובע שהפתרונות האפשריים הם:

a=7 b=31
a=41 b=14
a=76 b=8
a=142 b=4
a=239 b=2
a=720 b=0

הערה: אם נוריד את הפתרון ש b=0 ( כי בשאלה מתבקש רק פתרונות חיוביים ) אז יש לנו 5 פתרונות.

אני לא כל כך אוהב שאלות מהסוג הזה, זה מרגיש כמו חשבונאות...
אולי אביא תרגילים בשיטה ההסתברותית בקומבינטוריקה.
חידה/תרגיל/בעיה לא מוצא הבדל ביניהם.

 

[עריסטו]

השאלה השניה:
לפי נוסחת סכום טור חשבוני מקבלים:
zzz 1440 = (2*a+b)*(b+1) zzz
נסמן
m=(2*a+b)
n=b+1
אז 1440 = m*n
m,n מחלקים של 1440 , בנוסף אם m זוגי אז n לא זוגי ולהיפך, כלומר אחד מהם חייב להיות זוגי והשני חייב להיות אי זוגי ומכפלתם שווה 1440.

החזקה הגבוהה ביותר של 2 שמחלקת את 1440 היא 32 , לכן מכל מחלקי 1440, m או n יכולים להיות רק אלו שמתחלקים ב 32 כדי שהגורם השני יהיה לא זוגי , ואלו המחלקים:
32 96 160 288 480 1440
והמשלימים להם ( כלומר 1440 חלקי אותם מחלקים )
45 15 9 5 3 1

מכל נובע שהפתרונות האפשריים הם:

a=7 b=31
a=41 b=14
a=76 b=8
a=142 b=4
a=239 b=2
a=720 b=0

הערה: אם נוריד את הפתרון ש b=0 ( כי בשאלה מתבקש רק פתרונות חיוביים ) אז יש לנו 5 פתרונות.

מכל מחלק אי-זוגי x (גדול מ-1) של 20 מקבלים פתרון: x מספרים שהאמצעי ביניהם הוא 720 חלקי x. למשל מהמחלק 3 מקבלים 239+240+241. ואם האיבר הראשון בסדרה המתקבלת הוא לא חיובי, פשוט מוחקים מראש הסדרה את האיברים p- עד p, שסכומם הוא 0. כך מכל מחלק אי-זוגי גדול מ-1 קיבלנו סדרה. וכמובן ניתן לעבור מהסדרה חזרה למחלק: אם מספר איבריה זוגי נוסיף בתחילתה את האיברים p- עד p ונמצא את x (מספר האיברים בסדרה). לכן מספר הדרכים להביע את 720 כסכום סדרה חשבונית של מספרים טבעיים (באורך גדול מ-1) הוא מספר המחלקים האי-זוגיים של 720, פחות 1.

 

[הפרבולה1]

לגבי השאלה הראשונה אם אנחנו מחפשים a, b שלמים חיוביים שמקיימים את zzz 1/a + 1/b = 1/720 zzz אז:

zzz a=k*u b=k*v zzz

כאשר:
- הכפולה משותפת מינימלית של u,v היא 720
- zzz k = ( u + v )/ gcd(u,v) zzz

לכן מספר הפתרונות הוא כמספר הזוגות הסדורים u,v שהכפולה משותפת מינימלית שלהם היא 720

 

[עריסטו]

לגבי השאלה הראשונה אם אנחנו מחפשים a, b שלמים חיוביים שמקיימים את zzz 1/a + 1/b = 1/720 zzz אז:

zzz a=k*u b=k*v zzz

כאשר:
- הכפולה משותפת מינימלית של u,v היא 720
- zzz k = ( u + v )/ gcd(u,v) zzz

לכן מספר הפתרונות הוא כמספר הזוגות הסדורים u,v שהכפולה משותפת מינימלית שלהם היא 720

וכמובן זה מתאים לפתרון הקודם שלך (שמספר הפתרונות הוא מספר הזוגות של מחלקים של 720):
מכל שני מספרים x,y שהכמק"ב שלהם 720 ניתן לקבל שני מחלקים זרים של 720 (פשוט מחלקים את x,y בממג"ב שלהם)
ולהיפך - משני מחלקים זרים של 720 ניתן לקבל שני מספרים שהכמק"ב שלהם 720 (אם המחלקים הזרים הם a,b אז המספרים הרצויים הם 720 חלקי a ו- 720 חלקי b).
כמו כן זה מתאים לפתרון שלי (שמספר הפתרונות הוא מספר המחלקים של 2^720):
מכל שני מספרים x,y שהכמק"ב שלהם 720 ניתן לקבל זוג מחלקים של 2^720 שמכפלתם היא 2^720 (המחלקים הם 720x/y ו- 720y/x)
ולהיפך - מכל זוג מחלקים a,b של 2^720 שמכפלתם 2^720 ניתן לקבל שני מספרים שהכמק"ב שלהם 720: מחלקים את a או את b ב-720 ומצמצמים. אם המונה והמכנה הם m,n המספרים הרצויים הם 720 חלקי m ו-720 חלקי n.