כמה חידות

[eug]

כמה חידות

 

[eug]

../images/Emo35.gifחידה1

קצה אחד של גומי באורך L קשור לעמוד. באיזשהו קגע מתחילים למתוח את הגומי באופן אחיד עם מהירות v0. באותו הרגע מנקודת הקשר נמלה מתחילה ללכת לקצה השני של הגומי במהירות קבועה v1. כמה זמן יקח לה להגיע לקצה השני?

 

[TheBlueOne]

../images/Emo62.gif

אולי?

L/(V0+V1) = T ?​

 

[Drazick]

אולי...

אין לי כח לעשות את המתמטיקה אבל יש לי 3 רעיונות, דבר נוסף ההנחה שלי כי לא ציינת אחרת שהגומי יימתל לנצח: 1. אם מהירות מתיחת הגומי גדולה משל הנמלה, הנמלה לעולם לא תגיע. 2. אם המהירות שווה לעולם המרחק בין קצה הגומי לנמלה יהיה L ואם תיפס מתיחת הגומי אזי שמרגע סיום המתיחה הזמן שייקח הוא L/V1. 3. אם מהירות הנמלה גדולה יותר אז צריך לבצע משוואה בה העתק של הגומי הוא מהירותו כפול הזמן ועוד העתק שהוא אורך הגומי להשוותו לזמן של מהירות הנמלה כפול הזמן ולחלץ את T ולהלן התשובה.

 

[eug]

../images/Emo26.gif

1.

2.

3.

לא הבנת את התהליך שקורה שם.

 

[Drazick]

ניסיון נוסף

אולי אתה מתכוון בלי להזניח את הזמן מהרמת הרגל של הנמלה ולכן יש סיכוי מסויים שהיא נמצאת במקום? או ההתקדמות שלה למעשה אינז במהירות שלה אלא יחס מסויים בין המהירות שלה והמיקום החדש על הגומי המתוח?

 

[eug]

../images/Emo26.gif

גם לא לזה הכוונה, אפשר להחשיב את הנמלה לנקודה. הכוונה היא בטבע מתיחת הגומי, הוא נמתח לכל האורך, כלומר גם לפני הנמלה וגם אחריה. ככל שנמלה מתקדמת יותר, המהירות שלה (יחסית לנקודת ההתחלה) גדלה, הרי נקודה שהיא נמצאת בה על הגומי מתקדמת עם מתיחת הגומי.

 

[Drazick]

אז הנוסחה למהירות שלה תראה משהו...

כמו: מהירותה ועוד מהירות מתיחת הגומי חלקי העתק היחסי שלה מנקודת ההתחלה?

 

[eug]

נגיד, מה הלאה?

 

[Drazick]

בוא נראה אם אני בכיוון

נוסחת העתק של הנמלה תהיה משהו כזה: (V1+V0^2/L*t)*t ???

 

[eug]

לא

1. אתה לא מתחשב באורך ההתחלתי של הגומי 2. המהירות היחית היא לא קבוע, אתה לא תקבל את העתק אם תכפול את המהירות הרגעית ב זמן.

 

[Drazick]

שמע...

כדי לחשב את העתק שלה זה באמת מתמטיקה מסובכת עם משתנה שמשתנה כל הזמן. אין לי את המתמטיקה לבטא את הנוסחא. אבל חשבתי על משהו אחר, נאמר אני מביט על המחזה מן הצד, ברגעים הראשונים למעשה מתיחת הגומי אינה משפיעה על הנמלה (זניח), לעומת זאת לאחר זמן מה אני מביט וראוה את המחזה הבא, הנלה כיסתה אורך מסויים, כעת נמתח החבל פיש שתיים לכאורה יש לה פי שתיים מרחק לעבור, אך מבט אחורה מלמד שהיא גם עברה פי שתיים מרחק כלומר מהירותה גדלה פי שתיים. ולכן המתיחות בגומי תקזז את גדילת המרחק. הזמן שייקח לנמלה הוא L/V1. האם אני צודק?

 

[eug]

../images/Emo128.gif

אתה רוצה להגיד שמתיחת הגומי לא משפיע בכלל על התהליך? דרוש ידע מסויים במתמטיקה כדי לפתור את החידה.

 

[freq fraq]

אולי...

ניסיתי לפעול בכוח עם הכלים המתמטיים, וקיבלתי תשובה די מורכבת, משהו כמו:

t = L(e^(v0/v1)-1)/v0​

לפני שאני משפיל את עצמי בהסבר ארוך ושגוי, יש סיכוי שזה נכון?

 

[Drazick]

תן הסבר איך הגעת?

זה כאילו אני מבין מה צריך לעשות ולא יודע איך לבטע את זה מתמטית. אם הולכים רגיל אז לתנועה של הנמלה ישנה תאוצה, הבעיה שהיא לא קבועה היא משתנה ע"פ מיקומה על הגומי. הבעיה שאז אני נכנס ללואה כזו שחייב שיהיה לה פיתרון ורישום מתמטי מסויים... לצערי לפחות היום כנראה מעבר ליכולותיי.

 

[freq fraq]

כמו שאמרתי,

אני לא רוצה לתת הוכחה מלאה לפני שאני מקבל אישור, כי חבל על המאמץ (יש פה הרבה מתמטיקה, סיפור לכתוב את זה) אני לא יודע מה הרמה המתמטית שלך אבל הפיתרון שלי כן קצת מעבר לרמת התיכון: אתה צודק שהמהירות (v(t תלויה במיקום (x(t, אבל (v(t)=x'(t ולכן אנחנו מקבלים משוואה דיפרנציאלית (משוואה שמקשרת בין פונקציה ונגזרותיה). עוזר לך במשהו?

 

[Drazick]

אני מניח

שזה בדיוק מה שחסר לי... זה כמו שאני מרגיש חסר אונים מול הרעיון שגם אם חץ עושה רבע ועוד שמינית ועוד שש עשרית בסוף הוא אכן יגיע למטרה...

 

[freq fraq]

פה אני לא יודע אם המתמטיקה תעזור

כן, המתמטיקאים מגדירים פורמלית טור אינסופי מתכנס, ומוכיחים (תחת ההגדרה "שלהם" של סכום אינסופי) כי אכן

1/2+1/4+1/8+1/16+...=1​

בעצם גם אתה יכול לראות בערך את האופן שבו המתמטיקאים עושים את זה עם הכלים שיש לך. נסתכל על הסכום

1/2+1/4+1/8+...+1/2^n​

(כלומר סכום חלקי של הטור, רק האיברים הראשונים). לפי הנוסחא לסכום סידרה הנדסית מהתיכון, הסכום הוא:

1-(1/2)^n​

(תבדוק את זה, רק הצבתי בנוסחא וצמצתי משהו). אבל אם n "גדול מאוד" אז

(1/2)^n​

"קטן מאוד", ולכן הסכום שואף ל-1. המתמטיקאים מסבירים קצת יותר טוב מה זה "גדול מאוד" ו"קטן מאוד". האם זה יפתור את בעיות האינטואיציה שלך? אני בספק

 

[Drazick]

עזוב...

אני יותר חזק בקטע החשיבה מאשר הקטע הטכני. מאוד מעניין אותי איך הגעת לפיתרון. תוכל לצרף את ההסבר הארוך המייגע והלכאורה משפיל? תודה. אני חושב שמהירות הנמלה תלויה איכשהו במקדם המיקום על הגומי שלה . כלומר מיקום שלה בזמן נתון כפול הזמן שלה כפול מיקום חלקיי אורך החוט כפול מהירות מתיחת החוט. הבעיה שמתיחת החוט משתנה לאורך הזמן וכאן נכנס חשבון אינסופי... וזה משהו שאתם יודעים לתרגם לתרגיל... ורק ארחי שנמצא את משוואת המהירות, העתק שלה נוכל להשוות למשוואת העתק של הגומי ולמצוא את הזמן. ד"א, מאוד מעניין אותי בכל מהירות שתנוע הנמלה (בהינתן גומי עם יכולת להימתח אינסופית) ובכל מהירות מתיחה של הגומי האם היא תגיע לסופו. אינטואיטיבת נראה שלא. אבל יכול להיות שלעולם ה"תאוצה" שמפסק הגומי לגוף הנע עליו גדולה משיעור ההמתחות שלו (למרות שלי נראה שה"תאוצה" שהוא מספק מירבית רק בקצה ולכן ההשערה הזו אינה נכונה). אופס זיבלתי קצת את השכל...

 

[eug]

../images/Emo127.gif

זה נראה נכון. הפתרון פחות מעניין, הוא די טכני.