כיסא (למשל)

[neko]

1. צודק, התלבלבתי, זה היה קנטור.

2. ברגע שקבעתי קבוצה A, אני יכול בקלות להגיד שכל מה שלא שייך לקבוצה A הוא בקבוצה "המשלימה של A". אני לא רואה כאן בעיה של פרדוקסים. הפרדוקסים עולים רק כאשר מגדירים "קבוצה משלימה" לקבוצה שלא הוגדרה היטב קודם לכן.

 

[שייח ספיר]

הקבוצה מ"משלימה" לקבוצה ריקה

היא קבוצת כל הקבוצות. קבוצה חלקית לקבוצת כל הקבוצות היא קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן. ומכאן מגיעים לסתירה לפי פארדוקס ראסל (האם הקבוצה הנ"ל מכילה את עצמה?) אין דרך להגדיר באופן כללי משלים לקבוצה אשר לא תוביל לסתירות ולפארדוקסים. מה שאפשר זה, בהנתן שקבוצה A חלקית לקבוצה B, למצוא לA משלים בתוך B.

 

[neko]

לא נכון.

הקבוצה ה"משלימה" לקבוצה הריקה היא הקבוצה בת כל האיברים. הפרדוקס של ראסל לא קשור לקבוצות משלימות. בכל מקרה, אף פעם לא הבנתי את הקטע של הפרדוקס הזה (אולי כי אני מסתכל בעיניים פרקטיות ולא מתמטיות) - הרי אין אפשרות להגיד "קבוצה שאינה מכילה את עצמה" (וגם לו את המשלים שלה, "קבוצה שמכילה את עצמה"), כי אלו לא "מוגדרות היטב" לפי דעתי.

 

[שייח ספיר]

אתה טועה

איבר וקבוצה זה אותו דבר. כל קבוצה יכולה להוות איבר של קבוצה המכילה אותה, וכל קבוצה, פרט לקבוצה הריקה, מכילה איברים שהם בעצמם קבוצות. לכן קבוצת כל האיברים וקבוצת כל הקבוצות זה אותו דבר. "הפרדוקס של ראסל לא קשור לקבוצות משלימות" - לא ישירות, אבל אם אתה מגדיר "משלים" כפי שעשית אתה נופל אליו מהר מאד. "אין אפשרות להגיד 'קבוצה שאינה מכילה את עצמה' (וגם לא את המשלים שלה, 'קבוצה שמכילה את עצמה'), כי אלו לא 'מוגדרות היטב'" - "קבוצה" מוגדרת היטב. "אינה" מוגדר היטב. "מכילה" מוגדר היטב. "את עצמה" מוגדר היטב. הנקודה שמדגים פארדוקס ראסל היא שאסור להגדיר קבוצות רק על פי תכונה של האיברים שלהם (כמו שעשית במקרה של הקבוצה ה"משלימה"). כך נקלעים לפארדוקסים.

 

[argoBlock]

הסבר יפה, והמשמעות הפרקטית

שהאקסיומטיזציה של המתמטיקה, שמבוססת על כך שכל עצם שהיא מדברת עליו הוא קבוצה, ומבססת את כל האקסיומות על תורת הקבוצות. אינה יכולה לדבר על כל המציאות, בפרט אין בה עצם שיתאר את קבוצת כל הקבוצות, או קבוצת כל הקבוצות שמכילות את עצמן או אלה שלא מכילות את עצמן. זה נשמע כמו משהו טכני שחסר, או לא מוכל, אבל הסיבה העמוקה לכך שזה קורה, היא שלא ניתן לעשות אקסיומטיזציה של המציאות, ולא שראסל הצליח להמציא איזשהו מבנה מתחכם שבין כה וכה אין לו שימוש.

 

[שייח ספיר]

זו איננה המשמעות הפרקטית

המשמעות הפרקטית היא שלא כל יציר לשוני המקיים את הכללים התחביריים הוא אכן בעל משמעות. "קבוצת כל הקבוצות" הוא מושג חסר משמעות. הוא איננו חלק מהמציאות. ניתן לעשות אקסיומטיזציה של המציאות החיצונית משום שהמציאות היא מודל שכלי לתופעות הנקלטות על ידי החושים, כפי שהסברתי כאן. לא ניתן לבצע אקסיומטיזציה של ההוויה המודעת כולה, משום שזו נוגעת ב"דברים כשהם לעצמם", ולכן מעבר לניתוח אנליטי.

 

[argoBlock]

אפשר עקרונות אחרים בבקשה?

אתה צודק. זה לא אומר שאין אקסיומטיזציה של המציאות כשלעצמו (רק ש-ZF לא מספיק חזקה לדבר על קבוצה של הכל), אבל: 1. בגלל שכל מערכת אקסיומטית אפשר להעביר למונחים של קבוצות (תורת הקבוצות מספיק חזקה בשביל לסמן אקסיומות, כללי היסק, לסמן קבוצות של משפטים שניתן להסיק ולנסח טענות על כל אלה. 2. בכל מקרה, משפט גדל מוכיח זאת. (וגם משתמש למעשה בוריאציה על סעיף 1).

 

[argoBlock]

ובקשר ל"שם" (שהדיון נגמר)

1. זה מוניזם (מסויים), אם בזה אתה תומך, אראה בהודעה זו התשובה היחידה לשאלתי בהודעה הראשית. 2. מה זה העולם הפנימי? מה אינו העולם הפנימי? המציאות? העולם הפנימי אינו קיים במציאות? 3. האם זה אומר של"אנשים" האחרים בתוך התודעה אין עולם פנימי? 4. אם אכן כך, אז מה עם תודעות של אנשים אחרים? זו אותה תודעה? רק לך יש תודעה? התודעות האחרות קיימות רק בתודעתך? 5. האם זה אומר (אני לא מניח תשובה מסויימת ל-4) שכשאתה אומר "אנו" "ידיעתנו" "תודעתנו" מאיזו נקודת השקפה זה? אתה מניח עוד תודעות מחוץ לשלך? בתוך שלך? האם זה כן ניתן להוכחה/הסבר/מדידה כמותית? או שאני יכול להניח שגם זה לא קיים?

 

[argoBlock]

דרך אחרת לומר זאת

היא שאקסיומטיזציה קונסיסטנטית לתורת הקבוצות, דורשת הגבלה מראש ל"עולם" מסויים. טכנית זה נעשה ע"י בחירת קבוצה, או עצם אם תרצה שיהיה הקבוצה האוניברסלית שכל אברי הקבוצות הם אברים שלה, והמשלים של קבוצה הוא כל האברים של הקבוצה האוניברסלית שלא שייכים לקבוצה. המציאות אינה ניתנת לאקסיומטיזציה!

 

[Lu Tze]

בדיוק כמו ששחור הוא ההפך מכל מה שלא

שחור.

 

[sickX6]

תחפש כיסא במילון

 

[j i m m y]

ומה הוא יקבל מזה?

זה בערך כמו לחפש 'חתיך' במילון. זה אנדיבידואלי. כיסא, 4 אותיות, 2 עיצורים. 'כי' ו-'שה'. אפשר להגיד גם שאפשר לשבת על שה? למה התכוון המשורר שאמר כיסא? ומה יגיד השרפרף?

 

[Josh F]

תיקון

ההפך מ"כל מה שהוא לא כיסא" הוא "לא כל מה שהוא לא כיסא" לכן רואים שההפך אינו בהכרח המשלים כך גם ההפך מ"כל מה שהוא ההפך מלא כיסא" הוא "לא כל מה שהוא ההפך מלא כיסא" כלומר "לא כל מה שהוא לא לא כיסא" כלומר "לא כל מה שהוא כיסא" ההפך חל על "כל" לעומת זאת, ההפך מ"לא כיסא" הוא "כסא"