טענה לגבי טור

[MayaTMR]

טענה לגבי טור

שלום לכולם

האם הטענה הבאה נכונה או לא, ולמה?

 

[הפרבולה]

הטענה נכונה

נניח שהגבול של הסידרה n*a(n הוא L חיובי. נבחר אפסילון שווה ל L/2 , אז קים n1 כך שלכל n>n1 מתקיים
L/2 < n*a

(L/2)/n < a

כלומר החל מ n1 אברי הטור a(n גדולים מטור הרמוני מתאים וידוע שהטור ההרמוני מתבדר.

 

[MayaTMR]

תוכל

לחדד לי רק את עניין הגבול התחתון? למה אתה יכול להניח ש-an מתכנסת לגבול חיובי מהנתון על הגבול התחתון?

 

[הפרבולה]

אם הסידרה an חיובית

אז גם הסידרה n*an חיובית לכל n ) n טבעי ) ואם היא מתכנסת אז הגבול חייב להיות חיובי.

לא הבנתי למה הכוונה "גבול תחתון" , יש רק גבול אחד לפי הנתון וקראתי לו L והוא חיובי.
לפי הגדרת גבול סידרה אזל כל אפסילון e קיים n1 שלכל n>n1 מתקיים
| n*an - L| < e
=> L-e < n*an < L+e

ובחרתי אפסילון e=L/2

 

[MayaTMR]

רגע,

אבל לפי הנתון, יש גבול תחתון (ולא גבול רגיל), הכוונה היא ל-lim inf n*an...
יכול להיות שהתייחסת לזה כאל גבול רגיל בטעות?
בנוסף, אם הסדרה חיובית יכול להיות שיש לה גבול 0, לא? לדוגמא n^(-1) שואפת ל-0...
צירפתי את ההגדרה המתאימה

 

[טלמון סילבר]

אז מה? הכל נשאר בתוקף.

 

[הפרבולה]

איפה נתון שיש גבול תחתון ?

כתוב שהסדרה n*an שואפת לגבול חיובי
זה נכון שאם סידרה היא חיובית אז הגבול שלה יכול להיות 0 אבל בשאלה כתוב בפרוש ש
lim n*an > 0
אם הגבול של הסידרה n*an הוא 0 אז הטור an לא בהכרח מתבדר למשל הסידרה
a =1/n^2
lim n*a = 0 n->infinite
אבל
sum(a ) < infinite

 

[טלמון סילבר]

- - -

בשאלה המקורית, שים לב, מתחת למילה lim יש קו

עם זאת, תשובתך הראשונה תקפה כמובן גם למקרה הזה.

 

[הפרבולה]

אוקי, לא הכרתי את הסימון הזה.