טיול על הר

[טלמון סילבר]

אם יש מספר סופי של

נקודות קיצון, אז בוודאי גם הווריאציה סופית. סתם התלוצצתי.

 

[תה צמחים]

ניסיון להסביר

למה התשובה היא כן. בטיפוס על הר מוכרח להיות רצף כלשהו, כלומר, כל נקודה תיגע בנקודה לפניה (לא יכולה להיות קפיצה מגובה מטר לשלושה מטרים ישר, אלא יש רצף שמוביל לשם), ושני המטפסים הולכים על אותו הר. לכן, הרצף שהם הולכים עליו הוא מאותה נקודה הכי נמוכה (גובה פני הים) עד אותה נקודה הכי גבוהה (הפסגה), ובאמצע, משני הצדדים, הם חייבים לעבור את כל הגבהים, לכן הם מוכרחים לעבור את אותם גבהים, ועם השתהות ותכנון מדוייקים, הם יוכלו לעשות זאת ולהגיע לפסגה באותו הזמן.

 

[עריסטו]

זה לא הסבר

אם שניהם ילכו לפיסגה הם מוכרחים לעבור אותם גבהים, אבל מניין לך שהם יכולים לעשות זאת כך שבכל רגע שניהם יהיו באותו גובה? את מוזמנת להוכיח שבהר הזה

מטייל אחד יכול להתחיל מהקצה הימני, האחר מתחיל מהקצה השמאלי, והם יכולים לתכנן את הטיול כך שבכל רגע עד פגישתם הם יהיו באותו גובה. כאן חלקים מההר נמצאים מתחת לגובה ההתחלתי של המטיילים אבל זה לא משנה.

 

[עריסטו]

תיקון לתמונה

מכיוון שבמקרים אחרים העובדה שחלקים מההר נמצאים מתחת לגובה ההתחלתי תהיה בעיה, הנה ציור מתוקן:

מדוע יש למטיילים - אחד מתחיל מהקצה השמאלי, ואחד מהקצה הימני - מסלול שיביא לפגישתם, כך שבכל רגע הם יהיו באותו גובה?

 

[עריסטו]

שוב ציור מתוקן ../images/Emo67.gif

הנה

 

[תה צמחים]

../images/Emo6.gif

נתקעתי.

 

[תה צמחים]

אני חושבת שזה כן משנה

כי נתקעתי ברגע שההר ירד מתחת ל"גובה פני המים". עד אז, זה שהתחיל בצד שמאל עלה וירד בהתאם לגבהים הגיע המטייל השני, אבל ברגע שהשני ירד אל מתחת לגובה ההתחלתי, השמאלי תקוע.

 

[עריסטו]

נכון, ראי ציור מתוקן

 

[slallum]

המף.

טוב, זה מאוד דומה לחידה התלת-מימדית שהייתה לי פעם - קוביה, שהצלעות שלה הן מבוך סגור, עם 2 נקודות שונות עליו (בכל 2 צלעות מקבילות המבוך שווה). בתוך הקוביה יש כמו "מערכת צירים" כזאת - כמו 3 מקלות שחוברו באמצע. המקלות יכולים לזוז בתוך החורים של המבוך. המטרה היא להביא את כל ששת המקלות (שזה בעצם שלוש מקלות, כי לא אכפת לנו מהחלקים המקבילים שלהם) לנקודות המודגשות במבוך - יש ריבוע ויש עיגול - צריך להביא את כל המקלות לריבוע או את כל המקלות לעיגול. אני מקווה שהסברתי את עצמי טוב, ואני מקווה שאתם מבינים גם למה זה דומה לחידה של עריסטו ;] ואני מקווה שאולי מישהו יוכל להביא תמונה של זה בשביל להמחיש ;] בכל מקרה - בחידה שלי עם הקוביה, אי אפשר תמיד לעשות את זה. אבל כמובן שבקוביה הספציפית שלי אפשר, אחרת זה היה ממש מבאס

ובחידה של עריסטו - זה דו מימדי, ולא תלת מימדי. אז אני חושב שזה כן אפשרי - כל פעם צד אחד הולך אחורה\קדימה בשביל שהצד השני יתקדם. אבל אנל'א מוצא שום דרך להוכיח את זה כמו שצריך..

 

[מספר6]

פתרון חלקי

למקרה שמספר הפסגות הוא סופי. אני חושב שאפשר להרחיב את הטיעון להר בעל א0 פסגות, אבל זה כבר יותר מדי. הפתרון יצא יותר מדי ארוך גם ככה. (אגב, חידת המשך: האם ייתכנו עוצמת הרצף של פסגות?) הגדרה: מדרון הוא מסלול עולה ויורד לסירוגין שנקודות ההתחלה והסיום שלו הן גם נקודות המקסימום והמינימום. למשל, את ההר שבציור אפשר לחלק לשני מדרונות: AC ו-BC. מדרון לא חייב להתחיל בנקודה הנמוכה ולהסתיים בגבוהה. אפשר גם ההיפך. כמו כן, מדרון יכול להיות מימין לשמאל או משמאל לימין באותה מידה. למשל, AC הוא מדרון עולה שהולך משמאל לימין, ו-CA הוא מדרון יורד שהולך מימין לשמאל. האלגוריתם CLIMB מקבל כפרמטר שני מדרונות שמתחילים ומסתיימים באותם גבהים ומקדם את שני המטפסים תוך שמירה על הכלל ששניהם צריכים להמצא כל הזמן באותו גובה. zz CLIMB(AC,BC): zz zz 1. CLIMB(AP,BQ) zz zz 2. CLIMB(PR,QS) zz zz 3. CLIMB(RC,SC) zz הסבר: P היא הפסגה השניה בגובהה. בה"כ P נמצאת במדרון AC. מכיוון שאין נקודה גבוהה מ-P בין A ל-P, נובע ש-AP הוא מדרון. Q היא הנקודה ב-BC שנמצאת בקו הגובה של P. מ-Q עד C כל הדרך היא בעליה (אחרת היתה פסגה גבוהה מ-P). גם BQ הוא מדרון. R היא הנקודה הנמוכה ביותר בין P ל-C. גם PR וגם RC הם מדרונות. S היא הנקודה הכי קרובה ל-Q במדרון QB שנמצאת בקו הגובה של R. גם QS וגם SQ הם מדרונות. כל הקריאות הרקורסיביות הן על שני מדרונות שמתחילים ומסתיימים באותו גובה ויש בהם פחות פסגות מאשר בשני המדרונות המקוריים. הוכחת נכונות - באינדוקציה.

 

[מספר6]

תיקון טעות

כתבתי "גם QS וגם SQ הם מדרונות." התכוונתי "גם QS וגם SC הם מדרונות."

 

[tkuihehr]

לאאאא, תפווווווז../images/Emo46.gif

אררררג!!! כתבתי הסבר כל כך יפה, והוא נמחק!!, ועכשיו לך תנסה לחזור עליו! אני אנסה בזריז, כי עכשיו אין לי כוח לחפור: בשאלות מהסוג הזה מספיק למצוא דוגמא סותרת שתפריח את הטענה כולה.. ומאחר וההסבר שלי פה יהיה עילג קצת, הסתכלו ישר בדוגמא הסותרת

: אוקיי, נקודות קיצון הן נקודות שבסביבתן הן הכי נמוכות או הכי גבוהות [כלומר, שתי הנקודות שסמוכות לנקודת הקיצון תהיינה תמיד נמוכות יותר [בנקודות מקסימום] או גבוהות יותר [בבנקודת מינימום]]. יש את נקודת המקסימום המוחלטת, כלומר הנקודה הכי מקסימלית בגרף או בהר בין כל נקודות המקסימום המקומיות. לנקודה זו לא תהיה עוד נקודה שתהיה איתה באותו גובה [כי הנקודות הסמוכות נמוכות יותר, והיא עצמה נקודת המקסימום המוחלטת (כמובן יש מצב של כמה נקודות באותו הגובה וכולן תהיינה נקודות קיצון מוחלטות, אבל לא תמיד)]. הדרך היחידה שבהר כזה [בעל נקודת מקסימום אחת], יוכלו המטפסים להפגש ולהשאר באותו הגובה כל הזמן זה שהנקודה הזאת [שהיא יחידה בגובהה כמו שאמרנו] תהיה נקודת המפגש. אבל מה עם קיימת גם נקודת מינימום שמקיימת את כל התנאים? במצב כזה תהיינה 2 נקודות שאין להן נקודת אחות באותו הגובה, וכך המטפסים לא יוכלו להיות תמיד באותו הגובה ולקיים את בקשתם....

 

[tkuihehr]

בתמונה

קיימות 2 נקודות בלעדיות, כלומר 2 נקודות הנמצאות באותו גובה, ולכן 2 המטיילים לא יכולים להיות תמיד באותו הגובה. וגם אם ההסבר שלי לא טוב, הנה הר שלא יכול לקיים את הטענה [ולפיו יש עוד אינסוף], ולכן הוא מפריח את כל הטענה..

 

[עריסטו]

נא לקרוא שוב את החידה...

 

[tkuihehr]

מה לא הבנתי בחידה

השאלה היתה עם תמיד הם יוכלו לעשות זאת. כלומר האם לגבי כל הר זה יכול להתקיים, לא?

 

[FuryUri]

כל ההר מלבד ההתחלות מעל פני הים...