טור ראשוני

[clocker]

טור ראשוני

האם הסכום

1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+...+1/p+...​

על כל הראשוניים מתכנס לאיזה שהוא ערך סופי, או שהוא גדל כל הזמן ושואף לאינסוף

 

[Ultra Spidey]

../images/Emo62.gif

מהידע המוגבל שלי בlim,

lim 1/p = 0 p -> inf​

אז כן, הוא יתכנס לערך סופי

 

[Ultra Spidey]

טעות שלי

הוא ישאף לאינסוף.

 

[the YOOK]

??

קודם כל, זה שהאיבר בטור ישאף ל- 0 זה תנאי הכרחי, אך לא מספיק (הסתכל לדוגמא על הטור ההרמוני).

 

[ןן גיל ןן]

רמז

טור של איברים חיוביים ....A1+A2+A3 מתבדר (כלומר, הסכום הוא אינסופי) אם ורק אם המכפלה של המספרים מהצורה (1 פחות Ai) שואפת ל-0.

 

[the YOOK]

אתה בטוח בזה?

אולי לא הבנתי את התנאי, אבל נראה לי שהטור ההרמוני לא מקיים את הדרישה.

 

[עריסטו]

ועוד איך מקיים

 

[the YOOK]

אוקיי... אכן לא הבנתי את התנאי

לא שמתי לב שמדובר על המכפלות עד המקום ה- n... איך מוכיחים את זה אגב? (שהתנאי נכון)

 

[עריסטו]

לא יודע

 

[ןן גיל ןן]

על מנת להוכיח את זה:

מוציאים log למכפלה. במקום להוכיח שהמכפלה שואפת ל-0 יש להוכיח כעת שסכום הלוגים שואף למינוס אינסוף (אם ורק אם הטור המקורי מתבדר).אבל, עבור x מספיק קטן,( log(1-x פרופורציונלי ל- x- (כלומר, אפשר למצוא קבועים חיוביים כך שהוא בין Ax- ו- Bx-) ולכן אפשר להשתמש בקריטריון ההשוואה להתכנסות של טורים.

 

[the YOOK]

../images/Emo51.gifעברתי על המחברת של

אינפי 1, ומסתבר שבאמת לא למדתי את זה... (לרגע פחדתי שאני סנילי). מעניין למה... (זה ממש שימושי והיה יכול לעזור לי במבחן!))

 

[clocker]

טורים זה לא חומר של אינפי 2 ?

אולי הטענה הזו עוד תוכל לעזור לך....

 

[the YOOK]

אצלינו למדנו טורים באינפי 1...

טורי פונקציות באינפי 2. הטענה אכן יכולה להועיל... אבל אם היא לא נכללת בחומר הלימוד אתה תצטרך להוכיח אותה כל פעם כדי להשתמש בה.

 

[the YOOK]

נ"ב...

סיימתי גם אינפי 2... אם יש באינפי 3 טורים זה יכול לעזור לי... אבל משומה לא נראה לי.

 

[טלמון סילבר]

שאלה -

האם ידוע "סדר גודל" היחס בין המספר הראשוני ה-n ובין n? זה לא משהו כמו (ln(n ?

 

[טלמון סילבר]

כי אם כך,

אז אולי הטור "דומה" לסכום 1 חלקי ( (n ln(n ), שהוא מתבדר? זה כיוון?

 

[עריסטו]

המספר הראשוני ה-n-י הוא אכן

כ - nln. ניסוח מדוייק - היחס בין המספר הראשוני ה-n-י ל - nln שואף ל-1 כאשר n שואף לאינסוף.

 

[טלמון סילבר]

אם כך התשובה ברורה -

הטור מתבדר, כי הטור

Σ1/[n ln] (n= 2,3,4,...)​

מתבדר.

 

[ןן גיל ןן]

נכון, אבל יש תשובה פשוטה יותר

ניתן להוכיח זאת מבלי להשתמש במשפט הנ"ל (אשר הוכחתו מסובכת) או באף משפט מסובך אחר.

 

[ןן גיל ןן]

ורמז נוסף:

פתחו את המכפלה האינסופית: (1+1/2+1/4+1/8+...)*(1+1/3+1/9+1/27+...)*(1+1/5+1/25+1/125+...)*(1+1/7+1/49+...)*(1+1/11+1/121+...)*...