חתיכת מספר!!

[עריסטו]

חתיכת מספר!!

הוכיחו: המספר

1000000!! - 999999!!​

מתחלק ב - 1000001. !!n פירושו: אם n זוגי -

n * (n-2) * (n-4) * (n-6) * ... * 2​

אם n אי-זוגי -

n * (n-2) * (n-4) * (n-6) * ... * 1​

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo45.gif

סוף סוף משהו אנושי

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo101.gif רמז

מהם המחלקים הראשוניים של 1000001 ?

 

[1אברהם]

תשובה

101 , 9901

 

[milloarnon]

תשובה

1000001 אכן מתחלק רק ב 101 וב 9901 שניהם ראשוניים. צ.ל: n*(n-2)*(n-4)*...2 - (n-1)*(n-3)*...1 מתחלק ב101 וב9901 n=1000000 צריך ששני המכפלות יתחלקו בשני המספרים כדי שההפרש גם יתחלק. משמאל - יש לנו את המכפלה של כל המספרים הזוגיים. היא כוללת גם את המספרים 202 ו19802 שמתחלקים ב101 וב 9901 לכן המכפלה השמאלית מתחלקת. מימין - מכפלת כל המספרים האי זוגיים - כולל גם 101 ו 9901 ולכן מתחלקת כמובן ב 101 וב 9901. מסקנה - כל המספר מתחלק ב 1000001

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif + חידת המשך

הוכיחו:

40000000000000!! - 39999999999999!!​

מתחלק ב - 40000000000001. (המספר האחרון ראשוני <צוחק צחוק מרושע>)

 

[1אברהם]

עכשיו זה כבר לא אנושי ../images/Emo178.gif

 

[regit knup]

חחחחL../images/Emo6.gifL חחחחחחחח

 

[טלמון סילבר]

דווקא כן - ../images/Emo62.gif

דבר ראשון, מספר הכופלים ב-"!!" הראשון - זוגי. וגם בשני. לכל כופל a ב-"!!" הראשון יש כופל (a-) במודולו המספר הראשוני המדובר. לכן, שתי המכפלות שוות במודולו המספר הראשוני הזה. ניקח לשם הדגמה מספר ראשוני אחר מסוג 4k+1, למשל 13. צריך להוכיח ש:

12!! - 11!!​

מתחלק ב-13. ובכן, במודולו 13:

12!! = = 12 * 10 * 8 * 6 * 4 * 2 = = (-1) * (-3) * (-5) * (-7) * (-9) * (-11) = = 11!! * (-1)^6 = 11!!​

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif ולמי שלא מכיר חשבון מודולרי

אפשר כך:

12*10*...*2=(13-1)(13-3)...(13-11)​

אם פותחים את הסוגריים, כל האיברים המתקבלים מתחלקים ב - 13, פרט לאיבר אחד -

(-1)(-3)...(-13)​

כלומר

12*10*...*2=13m+(-1)^6*11*9*...*1 => 12*10*...*2-11*9*...*1=13m​

 

[עריסטו]

דווקא כן... צריך לחשוב, לא לחשב ../images/Emo22.gif

 

[טלמון סילבר]

צודק -

המספר המדובר, בצורת 4k+1, לא חייב להיות ראשוני.

 

[1אברהם]

עכשיו שהבנתי את הפתרון של שניכם

זה באמת אנושי