חסימת מעוין במעגל

[basenew]

חסימת מעוין במעגל

מדוע אי אפשר לחסום מעוין (שאינו מרובע) במעגל?
האם יש הוכחה לאי האפשרות לחסום מעוין במעגל?

 

[אורי769]

הנה

https://he.wikipedia.org/wiki/מרובע_ציקלי

 

[basenew]

תנאי

קראתי את הערך. אז הזוויות הלא סמוכות - סכומם שווה ל-180 מעלות.
בכל זאת, יש לכך הוכחה בהתייחסות לאקסיומות הגיאומטריה.
או איך אני מוכיח שסכומם הוא 180 מעלות והוא ניתן לחסימה במעגל?

 

[basenew]

בהנחה.

אני אמור להניח שיש משפט כזה - מצולע חסום במעגל רק אם זוויות הנגדיות - סכומם - שווה ל-180?

 

[אורי769]

המשפט הזה נכון רק למרובעים

מעבר לזה לא הבנתי מה אתה רוצה לדעת... אתה רוצה לדעת איך מוכיחים שמרובע הוא חסום אם ורק אם סכום זויות נגדיות בו הוא 180 מעלות?

 

[basenew]

כן. ולהתאים את ההוכחה

למעוין...

 

[אורי769]

שאלה

האם אתה יודע להוכיח את הטענה הבאה:
במעגל, זוית מרכזית שווה לפעמיים זוית היקפית הנשענת על אותה הקשת.

 

[basenew]

יש את ההוכחה הבאה...

נתון מעגל עם זווית היקפת וזווית זווית הנשענות על אותה קשת.
מותחים קוטר מקודקוד ההיקפית.
3 הקטעים, שוקי הזווית המרכזית (הרי זה ברור שמדובר ברדיווסים) ומחצית הקוטר שמתחנו הם רדיוסים.
קיבלנו 3 משולשים שווי-שוקיים (כי כולם רדיוסים של אותו מעגל ולכן שווים אחד לשני)
בהמשך מסתמכים על זווית.
ומקבלים ש: הזוווית ההיקפית היא פעמיים הזווית המרכזית.
זווית 1 (2b) + זווית 2 (2p) = ל-2b+2p
הזווית ההיקפית שווה ל-b+p.
ולכן מחצית הזווית ההיקפית שווה לזווית המרכזית.
האם אני יכול להוכיח שמעוין - צלעותיו אינן יוצרות רדיוסים שהם שוקיים של הזווית המרכזית?!

 

[אורי769]

מודה שלא הבנתי את ההוכחה

בהוכחה מקובל לתת לכל דבר שם, בדרך שם זה אות באנגלית. גם ציור עוזר.

 

[arieciub]

הוכחה בדרך השלילה

אם המעויין חסום במעגל, אז אחת הזוויות ההיקפיות שלו נשענת על קוטר שזה אומר שהיא 90 מעלות. וזה גורר את המעוין להיות ריבוע.
ולכן אין מעויין חסום.