חישוב נורמה אופרטורית של מטריצה פשוטה

[אנונימי80]

חישוב נורמה אופרטורית של מטריצה פשוטה

אהלן,

אם מישהו יכול לעזור, אני אודה לו מאוד.

אני צריך לחשב את הנורמה האופרטורית (הערך העצמי המקסימאלי) של המטריצה הבאה:
0 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0


ובכלל, איך מחשבים ערכים עצמיים? מישהו בבקשה יכול להזכיר לי?

תודה רבה!!

 

[אורי769]

הערה

נורמה אופרטורית אינה הע"ע המקסימאלי של מטריצה. לנורמה האופרטורית מספר הגדרות (שקולות זו לזו, כמובן). הנה אחת שנח יהיה לעבוד איתה: אם A מטריצה ריבועית (נאמר מעל R), אז
q |A| = sup { |Av| where |v|=1 } q
כאשר ה- || מסמל נורמה במרחב R^n. במלים פשוטות - עוברים על כל הוקטורים v מנורמה 1 ומוצאים את זה עבורו Av הוא מאורך מקסימלי.

במקרה של המטריצה הנתונה די קל לנחש את v ולמצוא את הנורמה האופרטורית.

 

[אנונימי80]

לא הבנתי למה זה לא הע"ע המקסימאלי \=

 

[אורי769]

לא הבנתי אותך

מה הכוונה שלך בלמה? מה שרשמתי זאת ההגדרה. ההגדרה הזו לא מזכירה אפילו את המילה ע"ע. כמובן, ייתכן ואפשר להוכיח משפט האומר שהפלא ופלא הנורמה האופרטורית שווה בדיוק לע"ע המקסימלי. לצערי, אין משפט כזה (אם כי יש טענה שקל להוכיח לפיה הנורמה האופרטורית גדולה או שווה מהע"ע המקסימלי).

אני מציע לך לקחת כמה וקטורים v לדוגמא, לנסות לכפול ולראות מה יוצאת הנורמה. אחרי שתבין מה קורה שם, זה לא מסובך למצוא את v שנותן נורמה מקסימלית ל-Av.

 

[אנונימי80]

מהו v ומהי הנורמה האופרטורית? תוכל בבקשה להראות לי?