חישוב טור פשוט

[Sterling5]

חישוב טור פשוט

שלום,

אשמח לעזרה בהבנה מדוע הטור n / 2^n הרץ מ-1 ועד אינסוף, שווה ל-2?

תודה מראש!

 

[אורי769]

באיזה רמה?

האם את הסכום הזה
sum (n=1 to inf) of 1/2^n = 1
אתה מבין?
האם למדת טורי חזקות?

 

[Sterling5]

כן וכן.

למדתי אינפי2 לפני כמה שנים, לא שולטת בכל המשפטים, אבל אם תשתמש בהם אני אזכר.
תודה!

 

[אורי769]

אופציה ראשונה

הנה תרשים שמסביר באופן פשוט למה זה נכון. כדי להפוך את זה להוכח צריך לדעת עוד כמה דברים, כי בסכומים אינסופיים זה לא ברור מאליו שסדר הסכימה לא משנה.

 

[Sterling5]

מה צריך להוכיח בנוסף כדי שהטענה תהיה נכונה?

ואיך?

תודה!

 

[אורי769]

בגדול

העניין קשור לכך שיש כאן ערכים שהם כולם חיוביים. במקרה זה אפשר להוכיח שסדר הסכימה של אינסוף איברים אינו משנה. תכניסי איברים שליליים לסיפור ואפשר לבנות דוגמאות שבהן הסכום של השורה למטה יהיה שונה מסכום הטור מימין.

אגב בתמונה יש טעות קטנה. בכל שורה צריך להיות +.... לפני כל סימן שוויון. כל שורה היא סכום אינסופי כמובן.

 

[אורי769]

אופציה שניה

זו הוכחה בכלים של אינפי. מתחילים מטור חזקות ידוע. משתמשים בכלל האומר שמותר לגזור איבר איבר.

 

[Sterling5]

תודה רבה

 

[הפרבולה]

עוד דרך

נסמן ב S את הסכום
1/2 +2/4 +3/8+4/16 +5/32 +6/64 +.... = S ***


1/4 +2/8 +3/16+4/32 +5/64 +6/128 +.... = S/2
1/4+1/8+ 1/16+ 1/32 +1/64 +1/128+... =1/2
נסכם את 2 השורות האחרונות

2/4 +3/8 +4/16+5/32 +6/64 +7/128 +.... = S/2+1/2
מצד שני לפי *** זה שווה גם ל
S-1/2
לכן
S-1/2 = S/2+1/2 => s/2 =1 => S=2

 

[אורי769]

יפה!

 

[עריסטו]

הוכחה הסתברותית

יש חידה ידועה: מעשה בממלכה שבה היו יותר בנים מבנות. קבע הסולטן של הממלכה חוק: לכל אישה מותר ללדת רק בן אחד. אחרי שנולד הבן הראשון היא מפסיקה ללדת. האם החוק הזה יעזור? לא, כי עדיין לכל לידה יש הסתברות שווה להיות בן או בת.
מהחידה הזו נובע שתוחלת מספר הבנות במשפחה היא 1, כי זו תוחלת מספר הבנים. מצד שני ניתן לחשב את התוחלת על ידי הטור שבשאלה (אחרי חילוק ב-2).

 

[אורי769]

עכשיו רק חסרה הוכחה בעזרת אלגברה לינארית

 

[עריסטו]

מה שחסר זה הוכחה בעזרת ציור

נראה לי שאפשר להכניס אינסוף מלבנים (אחד ששטחו 1/2, שניים ששטחם 1/4 וכו') למלבן ששטחו 2 (כמו בהוכחה הראשונה שכתבת).
בתמונה פה
[URL]http://mrhonner.com/archives/1680[/URL]
רואים איך 1/2+1/4 וכו' שווה 1. הציור גם מראה ש - 1/4+1/8+1/16+... שווה 1/2.

 

[אורי769]

הוכחה בציור יהיה נפלא

נסיתי לחשוב על זה קצת ולא מצאתי ציור שמבהיר זאת ללא ספק.

אבל אפשר להוכיח באינדוקציה שהסכום עד n הוא z 2-(n+2)/2^n z

 

[עריסטו]

טור דומה קצת

מהו סכום הטור
0/2+0/4+0/8+1/16+1/32+0/64+1/128+1/256+2/512+1/1024+...
שבו המכנים הם החזקות של 2 והמונה של כל שבר הוא מספר הספרות האי-זוגיות במכנה?