חישוב גבול של סכום טור בעזרת סכום רימן

[tom1992]

חישוב גבול של סכום טור בעזרת סכום רימן

כיצד הופכים סכום של טור לסכום רימן? ואיך ניתן יהיה לזהות בסופו של דבר שמדובר בסכום רימן? אני יודע שסכום רימן הוא סכום מ-1 עד אינסוף של f(Ci) כפול דלתא איקס, לפי חלוקה מסוימת T של הקטע. ואיך בוחרים את הקטע?

 

[ןן גיל ןן]

יש הבדל עקרוני ביניהם

סכום של טור הוא גבול של סכומים חלקיים. בסכומים החלקיים האלה המחוברים הראשונים לא משתנים ורק מוסיפים בכל פעם מחוברים חדשים בסוף הסכום.
כאשר מציגים אינטגרל כגבול של סכומי רימן, פרמטר החלוקה שואף ל-0 ולכן כל המחוברים שבסכום שואפים לאפס. בפרט אין מחוברים שנשארים קבועים.
לכן אין דרך פשוטה להציג סכום טור כגבול של סכומי רימן. אולי אפשר אחרי התחכמויות מסוימות (מניפולציות אלגבריות) על סכומי רימן, אבל אני לא מכיר דוגמה כזאת.

 

[tom1992]

ושאלה נוספת: נניח שאני מזהה שסכום של טור

מסוים (כאשר n רץ מ-1 עד אינסוף) הוא סדרה חשבונית, מהי במקרה כזה הנוסחה לסכום סדרה חשבונית? לא הצלחתי למצוא נוסחה "אחידה".

 

[טלמון סילבר]

סכום של טור

(אינסופי, מתכנס) זה מספר. זה לא יכול להיות "סדרה", חשבונית או לא חשבונית.
אפשר לדבר על סדרת הסכומים החלקיים:
x[1] = a[1]
x[2] = a[1] + a[2]
x[3] = a[1] + a[2] + a[3]
. . .
x[n] = a[1] + a[2] + a[3] . . . + a[n]
סכום הטור [האינסופי]
a[1] + a[2] + a[3] + . . .
הוא לפי ההגדרה: גבול הסדרה [x[n
אם קיים גבול [סופי] הטור נקרא "מתכנס".

 

[tom1992]

סליחה. התכוונתי למקרה של חישוב סכום כלשהו של רימן

ושקיבלתי בו סכום של סדרה חשבונית. אם כן, מהי הנוסחה לחישוב סכום כזה?

 

[טלמון סילבר]

סכום של אברי סדרה חשבונית

[סופית]: האבר הראשון + האבר האחרון, כפול מספר האברים, חלקי 2.

 

[tom1992]

ואם היא לא סופית?

 

[טלמון סילבר]

אז

הטור מתבדר.
סדרת הסכומים החלקיים שואפת לאינסוף, אם הצעד d חיובי, ושואפת למינוס אינסוף אם הצעד d שלילי.
אם הצעד d שווה 0, כלומר כל האברים שווים, אז הסכום שואף לאינסוף או למינוס אינסוף בהתאם לסימן של האברים.
ולבסוף, אם כל האברים שווים 0, אז סדרת הסכומים היא סדרת אפסים ושואפת ל-0.

 

[tom1992]

הנוסחה הנ"ל של סדרה חשבונית עובדת גם למקרה

ה-nי נכון?

 

[טלמון סילבר]

הנוסחה

לסכום אברי סדרה חשבונית "עובדת" תמיד, לכל סדרה חשבונית בלי יוצאת מן הכלל.

אנסה לנחש, במה בעצם מדובר.
אולי יש לך סדרה [אינסופית] של סדרות חשבוניות [סופיות] (למשל כמקרה פרטי של סכומי רימן עבור פונקציה קווית בקטע סופי).
כלומר, יש לך סדרה חשבונית סופית אחת, אי"כ יש לך סדרה חשבונית סופית שנייה, אח"כ שלישית, וכן הלאה עד אינסוף.
אז מה?
אם ידועה לך החוקיוּת לפיה אתה בונה כל סדרה חשבונית, אז אתה יכול לבטא עבור הסדרה ה-n-ית את האבר הראשון, את הצעד, את האבר האחרון, את מספר האברים, ולרשום את סכום הסדרה,
ואז אתה מקבל סדרה של סכומים אלה, ומנסה למצוא את הגבול שלה. כך?
בתחום המתימטיקה חשוב מאוד להתבטא באופן מדויק ככל האפשר, ואז יהיה אפשר להבין אותך, ומה שהכי חשוב: תוכל בעצמך להבין ביתר קלות את החומר, ולהבין ביתר בירור מה מובן לך ומה לא.