חישוב גבולות

[MayaTMR]

חישוב גבולות

היי,
אתם יכולים בבקשה לעזור לי בחישוב של הגבולות הבאים? ישנה אפשרות שהגבול לא קיים, ואז צריך להוכיח זאת.

אעריך כל עזרה!!

 

[סוס כסוף]

בבקשה

1. (1-cosx) / x² = ?

Mone = 1 - cos(2*0.5x) = 1 - (1-2sin²0.5x) = 2sin²0.5x
Mehane = x² = (2*0.5x)² = 4*(0.5x)²

Gvul = lim (2sin²0.5x) / 4(0.5x)² = lim 0.5 * [sin0.5x / (0.5x)]² = 0.5 * 1² = 0.5

2. lim sin²x / x³ = lim [(sinx/x)² / x] = lim (1/x) = 1/0 = ∞

3. Gvul = lim x^4(2 + 5/x + 7/x^4) / [x^4(-5 +3/x + 2/x^4)] = [(2+0+0)/(-5+0+0) = -2/5

4. נכפיל ונחלק בצמוד ונשתמש בנוסחת הכפל המקוצר

mone = [√(x² + sinx) - x] * [√(x²+sinx) + x] = (x²+sinx) - x² = sinx
mehane = √(x²+sinx) + x = √[x²(1+sinx/x)] + x = x√(1 + sinx/x) + x = x*[√(1+sinx / x) + 1]
כאשר X שואף לאינסוף, סינוס X מתנדנד בין ±1, כלומר הוא חסום. חסום חלקי X שואף לאינסוף שווה לאפס. לכן כאשר X->∞ המכנה שואף
ל X כפול 2. הגבול של כל השבר יהיה

Gvul = lim sinx ./ (2x) = Hassum / ∞ = 0

אתהאחרון אני לא יודע...

 

[MayaTMR]

קודם כל ממש תודה!

כמה בירורים/הבהרות:
לגבי 1. - האם זהו "טריק" נפוץ להתשמש בזווית כפולה? כשהגעת ל-lim 0.5 * [sin0.5x / (0.5x)]², בעצם הדרך המפורטת יותר היא לראות לאן הפונקציה sin x/x שואפת כאשר x שואף ל-0 (כמובן 1) ולאן g(t) = 0.5t שואפת כאשר t שואף ל-0, נכון? (כאילו הרכבה של שתי הפונקציות)
לגבי 2. - לא כ"כ הבנתי למה הסקת lim (1/x) = 1/0 = ∞, הרי 1/0 שואף לאינסוף אם כל איברי x חיוביים. אם כן, למה פה אתה יכול להסיק שכל האיברים אכן חיוביים?
לגבי 4. - כאשר הסקת: "כאשר X שואף לאינסוף, סינוס X מתנדנד בין ±1, כלומר הוא חסום", המסקנה הזו אינה קשורה לעובדה שכאשר x שואף לאינסוף אז סינוס x מתנדנד בין 1 ל- (-1), ואני יכולה להשתמש בה גם בלי קשר לכך, נכון?
לגבי 5 (שלא פתרת ) - אתה יודע מה מסמלים שם הסוגריים המרובעים?

 

[סוס כסוף]

תשובות

לגבי 1. - האם זהו "טריק" נפוץ להתשמש בזווית כפולה? כשהגעת ל-lim 0.5 * [sin0.5x / (0.5x)]², בעצם הדרך המפורטת יותר היא לראות לאן הפונקציה sin x/x שואפת כאשר x שואף ל-0 (כמובן 1) ולאן g(t) = 0.5t שואפת כאשר t שואף ל-0, נכון? (כאילו הרכבה של שתי הפונקציות)

====> אנו חייבים להגיע למצב של סינוס משהו חלקי אותו משהו. אחרת אי אפשר להסתמך על סינוס איקס חלקי איקס. לצורך זה משתמשים בכל זהות טריגו עפ"י הצורך, לאו דווקא סינוס זווית כפולה.

לגבי 2. - לא כ"כ הבנתי למה הסקת lim (1/x) = 1/0 = ∞, הרי 1/0 שואף לאינסוף אם כל איברי x חיוביים. אם כן, למה פה אתה יכול להסיק שכל האיברים אכן חיוביים?

====> לא סגור על זה, אבל לדעתי אם כל האיברים הם סופיים ומחולקים באינסוף, כל אחד מהם לחוד שואף לאפס. אם למדתם אחרת, מציע שתשאלי את הפורום במסגרת השירשור הנוכחי.

לגבי 4. - כאשר הסקת: "כאשר X שואף לאינסוף, סינוס X מתנדנד בין ±1, כלומר הוא חסום", המסקנה הזו אינה קשורה לעובדה שכאשר x שואף לאינסוף אז סינוס x מתנדנד בין 1 ל- (-1), ואני יכולה להשתמש בה גם בלי קשר לכך, נכון?

===> נכון.

לגבי 5 (שלא פתרת ) - אתה יודע מה מסמלים שם הסוגריים המרובעים?

===> לא, חשבתי שזה ערך מוחלט. אם זה לא ערך מוחלט, אשמח לדעת מה מייצגים הסוגריים המרובעים.

 

[MayaTMR]

סוס כסוף - עוד שאלה קטנה, ברשותך

לגבי 4 - אני לא בטוחה שאני יכולה להשתמש במשפט שלפיו בגלל ש-sin x חסומה אז כפל של חסומה באפסה זו פונקציה אפסה, כי עדיין לא למדנו את זה...
האם ישנה עוד דרך לפתור זאת בלי שימוש בחסימות של פונקציה?

תודה!