חישוב אינטגרל

[LironBar247]

חישוב אינטגרל

אני זקוקה לעזרה בחישוב האינטגרל הבא.
אשמח אם תוכלו לפרט בכל שלב על אילו משפטים\כללים אתם מסתמכים, כדי שאוכל ללמוד מכך

תודה מראש לכולם!

 

[טלמון סילבר]

נסי להמשיך מכאן:

e^x + x^2 = e^x • (1 + x^2/e^x)

 

[LironBar247]

האם אני

צריכה ממש לחשב את האינטגרל כדי למצוא את הגבול? זה נראה לי ממש מסובך...

 

[טלמון סילבר]

אפשר "לחשב" חלקית

ln(e^x + x^2) =
= ln[e^x • (1 + x^2/e^x)] =
= ln(e^x) + ln(1 + x²/e^x) =
= x + ln(1 + x^2/e^x)
נציג את האינטגרל כסכום של שני אינטגרלים, אינטגרל של x, ואינטגרל של הלוגריתם.
גם את הגבול נציג כסכום של שני גבולות בסדר?
רגע אמשיך אח"כ.

 

[טלמון סילבר]

המשך

בנוגע לגבול הראשון אכן נחשב את האינטגרל. אני מניח שלא תתקשי לחשב אינטגרל של איקס, ואח"כ - את הגבול.

נעבור ללוגריתם. כאן אין צורך לחשב את האינטגרל.
הפונקציה אינה שלילית, ושואפת ל-0 כאשר איקס שואף לאינסוף, משמע היא חסומה מלמעלה: קיים מספר חיובי A, שהפונקציה:
0 <= ln(1 + x^2/e^x) < A
ולכן האינטגרל גדול מ-0 וקטן מ-At. למה שווה הגבול?
למה שווה סכום שני גבולות?