חידת סדרה

[עריסטו]

חידת סדרה

מגדירים סדרה כזו: 16 האיברים הראשונים הם

a1=3 a2=1 a3=4 a4=1 a5=5 a6=9 a7=2 a8=6 a9=5 a10=3 a11=5 a12=8 a13=9 a14=7 a15=9 a16=3​

( לא זוכר יותר ספרות של Pi

) וכל איבר החל מאיבר מס' 17 מחושב כך: מחברים את 16 האיברים שלפניו. ספרת האחדות של התוצאה היא האיבר. שאלה: האם בסדרה מופיעים שוב 16 איברים עוקבים שווים ל-16 האיברים הראשונים? כלומר, האם מופיע בסדרה שוב הרצף

3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3​

 

[clocker]

../images/Emo58.gif פתרון

נקרא לתת הסדרה הסופית מa(k)z עד a(k+16)z "וקטור המחזור" ונסמן בVk. יש סה"כ 10 בחזקת 16 אפשרויות לוקטורי מחזור... נקח (10 בחזקת 16) ועוד 1 וקטורי מחזור לפי הסדר, בהכרח שניים מהם לפחות שווים. נסמן אותם בVm וVn כך שm קטן מn ,אם Vn=V1 אז סיימנו. לכן נניח שVn אינו V1. נשים לב כי אם Vm=Vn, אזי מתקיים V(m-1)=V(n-1)z משום שאם נחסר מכל איבר בוקטור Vn ומהאיבר המתאים לו בוקטור Vm את אותו מספר, (שהוא במקרה האיבר שלפניו בסדרה) נקבל שוויון וקטורים שוב. (ומודולו 10 של מספרים שווים, לא יכול "להרוס" את השוויון.) על כן, אם Vn=Vm בהכרח מתקיים V(n-m+1)=V1, לכן מצאנו וקטור מחזור ששווה לV1, ועל כן רצף 16 האיברים הראשונים בהכרח חוזר על עצמו מתישהו...

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif

 

[clocker]

חידת המשך הרבה הרבה יותר קלה

אני מגדיר סדרה בצורה דומה, כל איבר החל מהאיבר הרביעי, הוא ספרת האחדות של מכפלת שלושת האיברים שבאו לפניו. אם שלושת האיברים הראשונים הם 1,2,3 - האם הם יחזרו בסדר זה מתישהו בהמשך ?

 

[עריסטו]

פתרון

לא, כי כל האיברים בהמשך זוגיים: הסדרה מתחילה 1, 2, 3, 6, 6, 8,... ואחרי שיש שלושה איברים זוגיים עוקבים כמובן כל האיברים בהמשך זוגיים.

 

[Werty123]

ובפעם הראשונה שתגיע ל 0

הסדרה תתאפס

 

[Werty123]

סליחה טעות שלי

אי אפשר להגיע ל 0

 

[clocker]

למספר יש רק שני גורמים: 2,3

בשביל שספרת האחדות תהיה 0, צריך את 5 בתור גורם