חידת מעגלים

[מספר6]

חידת מעגלים

שלושה מעגלים שווי רדיוס נפגשים בנקודה O. חוץ מזה, כל זוג מעגלים יוצר נקודת חיתוך נוספת. דרך שלוש הנקודות הנוספות A,B,C מעבירים מעגל. הוכח: המעגל החדש שווה בגודלו למעגלים האחרים.

 

[עריסטו]

הדרכה ../images/Emo58.gif + שאלת המשך

נסמן את מרכזי המעגלים באותיות A, B, C. נסמן את שלושת נקודות החיתוך הנוספות A1, B1, C1, כאשר A1 היא נקודת החיתוך של המעגלים שמרכזיהם B ו-C, הנקודה B1 היא נקודת החיתוך של המעגלים שמרכזיהם A ו- C, והנקודה C1 היא נקודת החיתוך של המעגלים שמרכזיהם A ו- B. בניית עזר: שרטטו את הקטעים OA, OB, OC, AB1, AC1, BA1, BC1, CA1, CB1 - ביחד תשעה קטעים. דרך כל אחת מהנקודות A1, B1, C1 שרטטו קו המקביל לשלושה מתשעת הקטעים ששרטטתם. שאלת המשך: בשרטוט המורכב מארבעת המעגלים, ניתן לומר שתפקידי כל המעגלים זהים. למה הכוונה?

 

[1אברהם]

מה שיוצא זה

שישה מעוינים מחוברים בניהם נראה כמו היטל של קוביה על המישור. קל לראות שכל אורכי צלעות "הקוביה" שוות לרדיוס ארבעת המעגלים. אולי התכוונת שכל מעגל מרכזו הוא קודקוד של הקוביה , ומרכזים אלו מחוברים רק דרך אלכסוני הפאות. וכל מעגל עובר דרך 3 הקודקודים השכנים לאותו קודוקוד שהוא גם מרכז המעגל.

 

[עריסטו]

התכוונתי ש...

הציור יש ארבעה מעגלים. ניתן להתחיל מכל שלושה מהם, ולקבל את המעגל הרביעי.

 

[מספר6]

או בניסוח יותר פורמלי

נאמר שהמעגלים נפגשים בראשית הצירים. מכיוון שהם שווי רדיוס, מתקיים zz | A | = | B | = | C | = 1 zz נקודות החיתוך הנוספות הן A1= B + C B1 = A + C C1 = A + B והנקודה שנמצאת במרחק 1 משלושתן היא A + B + C

 

[עריסטו]

עוד שאלת המשך שהמצאתי עכשיו

אם המעגלים אינם שווי רדיוס - מיצאו נוסחה לרדיוס המעגל הרביעי. נסו לכתוב אותה כך שיהיה ניתן לראות שהיא סימטרית בארבעת המשתהים (ארבעת הרדיוסים).

 

[1אברהם]

../images/Emo62.gif

הזוית ADB שווה לחצי הקשת AB ( החלק הגדול) הזוית ACB שווה לחצי הקשת BD + חצי הקשת AD ( החלק הקטן) וסכום קשתות אלו משלים יחד עם קשת AB מעגל שלם כלומר זוית ADB שווה ל 180 פחות זוית ACB ( במעלות) ( הערה: נקודות החיתוך של מעגלים שווים יוצרים קשתות שוות ( מבחינת זוית) לכל מעגל ) קוטר המעגל החוסם את משולש ADB שווה ל zzz AB/sin(ADB) zzz קוטר המעגל החוסם את משולש ACB שווה ל zzz AB/sin(ACB) = AB/sin(180-ACB) = AB/sin(ADB) zzz כלומר קוטר המעגל החוסם את ADB ששוה ל2 המעגלים האחרים שווה לקוטר של המעגל שחוסם את המשולש ABC שקודקודיו הם 3 נקודות החיתוך הנוספות של המעגלים.

 

[מספר6]

../images/Emo127.gif

 

[עריסטו]

עכשיו פתור לפי ההדרכה שלי... ../images/Emo13.gif