חידת מחלקים

[clocker]

חידת מחלקים

אני בטוח שחברי הפורום כבר נתקלו בעבר בהרבה חידות מחלקים, אז הנה עוד אחת, M הוא מספר טבעי קטן מ1000, נתון שלמספר M יש בדיוק 10 מחלקים. מה הערך של M, אם ידוע שאין שום מספר אחר עם 10 מחלקים שגדול ממנו (וקטן מ1000).

 

[clocker]

להבהרה:

כדי למנוע אי הבנות, M נספר כמחלק של עצמו, וכך גם המספר 1. לדוגמא: מחלקיו של המספר 12 הם: 1,2,3,4,6,12 סך הכל, ל12 יש 6 מחלקים.

 

[ייץ]

נראה לי

976

 

[clocker]

../images/Emo127.gif

 

[עריסטו]

פתרון

אם ל - M יש בדיוק עשרה מחלקים, מתקיימת אחת האפשרויות: M הוא חזקה תשיעית של מספר ראשוני; M הוא מספר ראשוני כפול חזקה רביעית של מספר ראשוני אחר - pq^4. לאפשרות הראשונה מתאים רק המספר 512. לאפשרות השניה - q יכול להיות רק 2 או 3. אם הוא 2 החזקה הרביעית שלו היא 16 ואז p הוא לכל היותר 61, והמספר עצמו הוא 976. אם הוא 3 אזי p הוא לכל היותר 11 והמספר עצמו הוא 891. לכן התשובה היא (כמו שכתב ייץ) 976.