חידת כדור
- פותח הנושא עריסטו
- פורסם בתאריך
doronimous
New member
על דרך השלילה
נניח כי יש גוף כזה שאינו כדור. אזי בהכרח ישנן שתי נקודות א', ב' על מעטפתו שמרחקן מנק' מרכז הכובד מ' שונה. נעביר מישור בין 3 הנקודות: א', ב', מ' הצורה שתחתך אינה עיגול כיוון ש א'-מ' שונה מ ב'-מ' ולכן סתירה
נניח כי יש גוף כזה שאינו כדור. אזי בהכרח ישנן שתי נקודות א', ב' על מעטפתו שמרחקן מנק' מרכז הכובד מ' שונה. נעביר מישור בין 3 הנקודות: א', ב', מ' הצורה שתחתך אינה עיגול כיוון ש א'-מ' שונה מ ב'-מ' ולכן סתירה
../images/Emo62.gif
נחתוך את הגוף הנתון עם מישור כלשהוא ונקבל עיגול X , נעביר קוטר בעיגול X אשר חותך את המעגל בנקודות A ו B . נחתוך את הגוף עם מישור שמאונך לעיגול X דרך הקוטר AB ונקבל עיגול Y עם רדיוס r . נסמן ב M את מרכזו של עיגול Y , קל לראות ש M מרוחק מכל נקודה במעגל X במרחק r , כלומר M מרוחק מכל נקודה שעל המעגלים X ו Y ( שמישוריהם מאונכים זה לזה ) במרחק r . כעת נניח בשלילה שיש נקודה Q על הגוף ( שאינה כמובן על המעגלים X או Y ) שמרחקה מ M אינו r , נחתוך את הגוף עם מישור העובר דרך Q והקוטר AB של X, נקבל עיגול חדש Z שהיקפו חותך את X ב A ו B ואת מעגל Y ב2 נקודות נוספות( C ו D ) כלומר יש למעגל החדש 4 נקודות משותפות עם המעגלים X ו Y זאת אומרת יש 4 נקודות על המעגל Z שמרחקם מ M הוא r מכאן כל הנקודות על המעגל Z מרחקם מ M הוא r כולל הנקודה Q
נחתוך את הגוף הנתון עם מישור כלשהוא ונקבל עיגול X , נעביר קוטר בעיגול X אשר חותך את המעגל בנקודות A ו B . נחתוך את הגוף עם מישור שמאונך לעיגול X דרך הקוטר AB ונקבל עיגול Y עם רדיוס r . נסמן ב M את מרכזו של עיגול Y , קל לראות ש M מרוחק מכל נקודה במעגל X במרחק r , כלומר M מרוחק מכל נקודה שעל המעגלים X ו Y ( שמישוריהם מאונכים זה לזה ) במרחק r . כעת נניח בשלילה שיש נקודה Q על הגוף ( שאינה כמובן על המעגלים X או Y ) שמרחקה מ M אינו r , נחתוך את הגוף עם מישור העובר דרך Q והקוטר AB של X, נקבל עיגול חדש Z שהיקפו חותך את X ב A ו B ואת מעגל Y ב2 נקודות נוספות( C ו D ) כלומר יש למעגל החדש 4 נקודות משותפות עם המעגלים X ו Y זאת אומרת יש 4 נקודות על המעגל Z שמרחקם מ M הוא r מכאן כל הנקודות על המעגל Z מרחקם מ M הוא r כולל הנקודה Q
טלמון סילבר
New member
בערך הרעיון של אברהם
אם החיתוכים של שני מישורים כלשהם עם הגוף הם שני עיגולים שהחיתוך שלהם מכיל יותר מנקודה אחת, אזי בהכרח יש להם מיתר משותף (קטע הישר המשותף לשני המישורים אינו יכול לחרוג מאף אחד מהעיגולים). יהי החיתוך של מישור מסוים עם הגוף - עיגול A. ניקח את ישר B המאונך לעיגול זה ועובר דרך מרכזו. ניקח מישור כלשהו C, המכיל את ישר B. החיתוך שלו עם הגוף הוא עיגול D שיש לו מיתר משותף E עם העיגול A (המהווה קוטר בעיגול A), ומיתר נוסף F על ישר B. מכיוון שמיתר F מאונך למיתר E ועובר דרך מרכזו, המיתר F הוא קוטר בעיגול D. אם ניקח מישור C אחר המכיל את ישר B, נקבל באותו אופן מיתר F על ישר B, שגם הוא יהיה קוטר בעיגול D האחר. אך לכל המישורים הללו C יש מיתר משותף על הישר B. משמע, החיתוכים של כל המישורים C העוברים דרך ישר B הם עיגולים עם אותו הקוטר F, משמע הגוף הוא כדור עם קוטר זה.
אם החיתוכים של שני מישורים כלשהם עם הגוף הם שני עיגולים שהחיתוך שלהם מכיל יותר מנקודה אחת, אזי בהכרח יש להם מיתר משותף (קטע הישר המשותף לשני המישורים אינו יכול לחרוג מאף אחד מהעיגולים). יהי החיתוך של מישור מסוים עם הגוף - עיגול A. ניקח את ישר B המאונך לעיגול זה ועובר דרך מרכזו. ניקח מישור כלשהו C, המכיל את ישר B. החיתוך שלו עם הגוף הוא עיגול D שיש לו מיתר משותף E עם העיגול A (המהווה קוטר בעיגול A), ומיתר נוסף F על ישר B. מכיוון שמיתר F מאונך למיתר E ועובר דרך מרכזו, המיתר F הוא קוטר בעיגול D. אם ניקח מישור C אחר המכיל את ישר B, נקבל באותו אופן מיתר F על ישר B, שגם הוא יהיה קוטר בעיגול D האחר. אך לכל המישורים הללו C יש מיתר משותף על הישר B. משמע, החיתוכים של כל המישורים C העוברים דרך ישר B הם עיגולים עם אותו הקוטר F, משמע הגוף הוא כדור עם קוטר זה.
אמא יודעת הכל
New member
אני חושבת שניתן לומר גם
שגוף שכל חתכיו ע"י מישור מכל כיוון שהוא הוא עיגול, מטעמי סימטריה הוא חייב להיות כדור.
שגוף שכל חתכיו ע"י מישור מכל כיוון שהוא הוא עיגול, מטעמי סימטריה הוא חייב להיות כדור.
Copyright©1996-2021,Tapuz Media Ltd. Forum software by XenForo® © 2010-2020 XenForo Ltd.