חידת הסתברות

[הצב לא צב]

ׁבמקום האינסוף

 

[הצב לא צב]

תיקון

המספרים האפשריים הם 1 , 100 , 1000 , ... הנוסחא לאיבר הכללי של סדרה זו הינו 10 בחזקת n-1, מאחר ואין גבול עליון לסדרה ערכי n נעים מ-1 ועד אינסוף והאיבר במקום האינסוף שווה ל-10 בחזקת אינסוף פחות 1. האם עד כאן אתה מסכים?

 

[עריסטו]

לא

אין בסדרה "מקום אינסוף". הערך n של כל איבר בסדרה הוא מספר טבעי.

 

[clocker]

בוא נעשה לך קצת סדר

אם כבר הכנסת סדרות לעניין, הבה נרשום את זה בצורה פורמלית יותר כל איבר בסדרה יהיה זוג, (סכום הכסף המקסימלי,ההסתברות לקבל אותו) a1=(10,1/2),a2=(100,1/4),......z לכן an=(10^n,1/2^n)z כעת נשאיף את n לאינסוף, ונקבל את הגבול a∞=(∞,0)z עכשיו מה זה אומר לנו ? שהסיכוי שלנו לבחור מעטפה עם ∞ כסף הוא 0, לכן כל בחירה של מעטפה תניב סכום כסף <∞. זאת אומרת סכום סופי.

 

[clocker]

היות ובהסתברות עסקינן

יש אינסוף כסף בהסתברות 0

 

[ייץ]

נראה לי

שוודאי כדאי להחליף. בהנתן שפתחת מעטפה שבה יש X שקלים יתכנו שני אפשרויות בלבד. במעטפה השניה יש X/10 בהסתברות 2/3 או 10X בהסתברות 1/3 לכן כדאי להחליף.

 

[עריסטו]

אז למה

לא לקחת מראש את המעטפה האחרת?

 

[1אברהם]

זה לא אותו דבר

לפני שפותחים את המעטפה שבחרתי אז תוחלת הרווח היא אינסוף ולכן לא משנה מה אני בוחר, אבל אחרי שבחרתי מעטפה ופתחתי אותה, תוחלת הרווח בהנתן שיש שם סכום x היא סופית והיא חיובית אם אני מחליט להחליף את המעטפה. מסקנה: לבחור מעטפה , להסתכל מה הסכום ואז להחליף בכל מקרה (האמת שנראה לי די מוזר המסקנה שלי

)

 

[יאיר של תמר]

אבל...אבל...

אם 1. בוחרים מעטפה 2. פותחים 3. מסתכלים 4. מחליפים אפשר בהחלט לדלג על שלבים 2 ו-3 כי הם לא מוסיפים או גורעים שום דבר מהתהליך.. וברור ש-1 ו-4 משולבים יחד הם חסרי משמעות. לדעתי, כל פתרון שבסופו של דבר הוא "בוחרים ותמיד מחליפים" הוא חסר משמעות...

 

[1אברהם]

אבל

אם אתה בכל זאת מבצע את שלבים 2 3 אתה לפחות יודע כמה הרווחת או הפסדת

 

[יאיר של תמר]

זה נכון ../images/Emo13.gif

 

[בסג]

../images/Emo10.gifזה מדכא אותי...

מהי התשובה? גם הדברים של יאיר של תמר נשמעים נכונים, אבל גם התוחלת נשמעת נכונה.

 

[Belgarath1]

תשובה

נגדיר את ההסתברויות באופן הבא:

for n =1,2,3, ... P = 1/2^n for 10^n or 10^(n-1) NIS​

ונניח שהוצאנו מעטפה עם x=10^n שקלים. אסמן x2 הסכום במעטפה השניה ואחשב את ההסתברות המותנה (x נתון):

P(x2 > x / x=10^n) = P(x2 >x, x=10^n) / P(x=10^n) = if n=0 ==> = P(x2 >x, x=1) / P(x=1) = P(x=1)/P(x=1) = 1 for n>0 ==> = P(x2>x, x=10^n)/P(x=10^n) = 0.5*[1/2^(n+1)] / (0.5*[1/2^n + 1/2^(n+1)]) = 1 / (2 + 1) = 1/3​

לכן רק כאשר x=1 יהיה כדאי להחליף מעטפה.

 

[1אברהם]

אמנם נכון ש

ההסתברות שבמעטפה השניה יש סכום גדול יותר הוא רק שליש אבל מצד שני הסכום גדול פי 10 ולכן בכל זאת כדאי לקחת את הסיכון ולהחליף כי תוחלת הרווח חיובית אם מחליפים.