חידת הסתברות

[עריסטו]

חידת הסתברות

יש בקופסה שתי מעטפות. ידוע ש: בהסתברות 1/2, יש באחת מהן 1 שקל ובאחרת יש 10 שקלים; בהסתברות 1/4, יש באחת מהן 10 שקלים ובאחרת יש 100 שקלים; בהסתברות 1/8, יש באחת מהן 100 שקלים ובאחרת יש 1000 שקלים; בהסתברות 1/16, יש באחת מהן 1000 שקלים ובאחרת יש 10000 שקלים; בהסתברות 1/32, יש באחת מהן 10000 שקלים ובאחרת יש 100000 שקלים; וכך הלאה... אתם מוציאים מעטפה אחת מהקופסה ופותחים אותה. בפנים יש סכום x. כעת מציעים לכם בחירה - להשאיר את המעטפה אצלכם, או להחזיר אותה ולקחת במקומה את המעטפה האחרת. מה אתם עושים?

 

[בסג]

אני

אם יש רק משחק אחד לא הייתי מחליף, כי אאל"ט יש הסתברות של 2/3 שבמעטפה השנייה יש פחות כסף ו-1/3 שיש בשנייה יותר, ואני לא אוהב סיכונים. עם זאת, תוחלתית אאל"ט עדיף להחליף; כלומר, תוחלת הרווח בהחלפה היא:

9x*1/3 - 0.9x*2/3​

שזה ערך חיובי. אם המשחק הזה היה חוזר על עצמו הרבה פעמים, הייתי מחליף, כי אני אוהב להרוויח, וכשהתוחלת לצידי ויש מדגם מספיק גדול אני מוכן 'להסתכן'. עם זאת, יש באפי ריח חריף של "מונטי הול", ומה שכתבתי נשמע לי משונה ביותר, אך אני לא מוצא את הטריק.

 

[עריסטו]

אם תוחלתית עדיף להחליף

אז אתה יודע מראש שאם היית לוקח את המעטפה האחרת היית מחליף ורוצה את המעטפה שלקחת עכשיו. אז בשביל מה להחליף?

 

[1אברהם]

אם משחקים הרבה פעמים

אז נראה לי שלא משנה ( חוץ מהמקרה ש x=1 שכדאי תמיד להחליף במיקרה זה ) כיוון שהתוחלת ב 2 במיקרים היא אין סוף

 

[עריסטו]

אבל אבל...

מה ההבדל בין המקרה x=1 למקרים האחרים? אם פתחת מעטפה וראית ש - x=1 אתה כבר לא אומר שהתוחלת אינסופית ולא משנה מה תיקח, אלא מתייחס לסכום הספציפי שמצאת. למה אם מצאת במעטפה סכום אחר, לא 1, אתה לא מתייחס לסכום הספציפי שמצאת? אם תתיחס אליו הרי תקבל שכדאי להחליף, לא?

 

[עריסטו]

חוץ מזה, מה ההבדל

אם משחקים הרבה פעמים או פעם אחת? אם משתמשים באסטרטגיה מסויימת (שיטה לבחור האם להחליף או לא) ומשחקים n פעמים, תוחלת הרווח היא na, כאשר תוחלת הרווח במשחק יחיד היא a. זאת אומרת שהאסטרטגיה האופטימלית עבור n משחקים זהה לאסטרטגיה האופטימלית עבור משחק אחד, לא?

 

[תה צמחים]

לדעתי

להשאיר. כי בהסתברות של P יש סכום קטן יותר של כסף, ובהסתברות של חצי P יש סכום גדול יותר. לא? (אלא אם כן זה שקל, ואז להחליף

.)

 

[Alkhimey]

לדעתי

אם זה שקל אז להחליף. אם זה משהוא אחר אז להחליף או לא יתן אותו דבר.

 

[מספר6]

לדעתי

מדובר בסיטואציה לא מציאותית שבה בכל מעטפה יש אינסוף שקלים בתוחלת. במצב דימיוני כזה, כללי ההיגיון לא עובדים ואין מה לנסות לפעול "בהיגיון" ע"מ למקסם את הרווח. אם לא מחליפים, מרויחים אינסוף, ואם מחליפים, מרויחים אינסוף כפול 10 = גם כן אינסוף. כדי להפוך את זה ל"הגיוני" צריך להניח שיש איזה שהוא גבול עליון של כסף. אז היתה נוספת האפשרות שמצאנו במעטפה הראשונה את הסכום המקסימלי ואז לא מחליפים, ובכל שאר המקרים מחליפים.

 

[עריסטו]

מה זאת אומרת "מרויחים אינסוף"?

הרי אם נפתח את המעטפה נמצא בה סכום מסויים, לא אינסוף. נכון שאין גבול עליון לסכום שנמצא, אבל תמיד הסכום שנמצא יהיה סופי, וגם הסכום שנרוויח או נפסיד אם נחליף יהיה סופי.

 

[מספר6]

אני אנסה להסביר שוב

הסכומים במעטפות הם סופיים, אבל החשבון שאנחנו עושים הוא במספרים אינסופיים: אם נחליף מעטפה, אז בתוחלת נגדיל את סכום הכסף פי x>1 כלשהו. כלומר תוחלת הכסף במעטפה השניה גדולה פי x מתוחלת הכסף במעטפה שבחרנו. אבל התוחלות הן אינסוף...

 

[עריסטו]

התוחלות הן אינסוף כל עוד

אינך יודע מה הסכום שבידך. אם לכל סכום ספציפי שתמצא כדאי להחליף, איך ייתכן שבסך הכל - לא כדאי להחליף? הרי יש במעטפה שבידך סכום ספציפי.

 

[הצב לא צב]

../images/Emo62.gif

לשאלה אין פיתרון מאחר ויש סתירה בנתוני השאלה - לא ייתכן כי בהסתברות מסוימת יהיה במעטפה סכום כסף הגדול מסך כל הכסף שיש בעולם...

 

[עריסטו]

החידה תיאורטית

 

[הצב לא צב]

כלומר, ייתכן ובמעטפה אינסוף כסף?

 

[עריסטו]

לא

אין גבול עליון לסכום הכסף שיכול להימצא במעטפה, אבל הסכום תמיד סופי.

 

[הצב לא צב]

שאלה

אני לא חזק בכלל במתמתיקה אז יכול מאוד שאני טועה, אבל - אם אין גבול עליון לסכום הכסף במעטפה מדוע הסכום לא יכול אינסוף? הרי ע"פ הגדרת השאלה שלך - בהסתברות אינפינטיסימלית יהיה במעטפה אינסוף כסף, או שלא?

 

[עריסטו]

ראה הודעת clocker

הסכומים האפשריים הם 1, 10, 100,... כל מספר ברשימה הזו הוא סופי. אתה לא אומר שהסכום במעטפה יכול להיות 3, נכון? אז למה אתה אומר שהוא יכול להיות אינסוף? מה ההבדל? 3 לא מופיע ברשימת הסכומים האפשריים, וגם אינסוף לא מופיע.

 

[הצב לא צב]

האם אתה מסכים ש-

10 בחזקת אינסוף מופיע ברשימה?

 

[עריסטו]

לא

באיזה מקום ברשימה הוא מופיע?