חידת אלגברה לינארית

[עריסטו]

חידת אלגברה לינארית

M היא מטריצה בעלת 3 שורות ו-2 עמודות. N היא מטריצה בעלת 2 שורות ו-3 עמודות. MN שווה ל:

מיצאו את NM.

 

[clocker]

נראה לי ש:

זו מטריצה שדומה ל

1,0 0,17​

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif

 

[clocker]

הכוונה לדמיון מטריצות

הערכים העצמיים של המטריצה שנתת הם 0,1,17 לפי משפט באלגברה לינארית spec(AB)=spec(BA)1 לכן, הערכים העצמיים של NM הם 1,17 ולכן המטריצה לכסינה ודומה למטריצה שרשמתי מעלה. צורה אחרת לרשום את כל המטריצות שדומות למטריצה שרשמתי

a,b (a(17-a)-17)/b,17-a​

 

[clocker]

תיקנונון

a,b (a(18-a)-17)/b,18-a​

 

[עריסטו]

בסדר, ייתכן שמה שכתבת הוא

תנאי הכרחי, אבל הוא לא מספיק: אפשר למצוא פתרון ספציפי יותר ממה שכתבת. בגלל זה שמתי

.

 

[יאיר של תמר]

אני חושב..

שאין פתרון - אבל לא יודע למה..

 

[עריסטו]

מה זאת אומרת "אין פתרון"?

אין מטריצות M ו-N שמכפלתן היא המטריצה שנתתי? יש מטריצות כאלה, אבל אי אפשר למצוא את NM?

 

[יאיר של תמר]

התכוונתי ש...

אין מטריצות M ו-N שמכפלתן היא המטריצה שנתת...

 

[עריסטו]

../images/Emo128.gif זה לא נכון

 

[slallum]

שאלה

איך מכפילים מטריצות? (MN זה כפל של M ב-N כן?)

 

[עריסטו]

ככה

 

[slallum]

הא, מגניב ;]

אז אולי אפשר עם המון משוואות קטנות ומעצבנות לפתור את העניין הזה, אם אני חושב נכון על דרך הפתרון - זה בטח ייראה קצת כמו סודוקו P:

 

[Belgarath1]

אולי

נעזרתי במטלב כדי לפתור את המטריצה. מצאתי ערכים עצמיים: 0, 9 ו- 9. בגלל סימטריות המטריצה ניתן לקבל גם פירוק אורתוגונלי עבור הוקטורים העצמיים:

MN = UEU' = sum(k=1..3)[e(k)*u(k)*u'(k)] = sum(k=1..2)[9*u(k)*u'(k)] = (3*[u1 u2])*(3*[u1 u2])'​

כאשר E מטריצה אלכסונית של הערכים העצמיים, e מסמל ערך עצמי, U מטריצת וקטורים עצמיים. u וקטור עצמי (עמודה). ו- ' מסמן את פעולת ה- transpose. כלומר מצאתי את M ו- N (עד כדי נרמול בקבוע):

==> NM = 9*[u1 u2]'*[u1 u2] = 9*I = [9 0; 0 9]​

 

[עריסטו]

../images/Emo127.gif יש הוכחה פשוטה יותר

 

[clocker]

אפשר לראות ?

אפשר לראות את ההוכחה ?

 

[עריסטו]

הנה

The key observation is that (MN)^2 = 9 MN. It is also easy to check that MN has rank 2. The rank of NM must be at least as big as M(NM)N = 9 MN, so NM is non-singular. Now (NM)^3 = N[(MN)^2]M = N(9MN)M = 9(NM)^2. Multiplying by the inverse of NM twice gives that NM = 9I.​

 

[clocker]

דרך יפה ../images/Emo70.gif

 

[עריסטו]

הנה שתי דוגמאות למטריצות

המקיימות את השוויון הנתון: