חידה

[גיל14]

חידה

הוכח שהביטוי המצורף שווה ל1 לכל n טבעי.

 

[גיל14]

רמז

כמה פונקציות על ישנן מהקבוצה {1, 2, ... m} לקבוצה {1, 2, ... n}?

 

[טלמון סילבר]

דרך מכנית בלי לחשוב

הביטוי:

n Σ(-1)^k * C(n,k) * (x-k)^n = n! k=0​

עבור כל x, היות וזה ההפרש ה-n של הטור הסופי: x-n+0 x-n+1 x-n+2 . . . x-n+n נציב x=n, והאבר האחרון (עבור k=n) שווה 0. נשאר רק לחלק את שני האגפים ב-n עצרת, ומתקבל השוויון המוצע.

 

[גיל14]

לא הבנתי

מהו הטור המדובר...ואיפה ההפרש.

 

[טלמון סילבר]

ההפרש ה-n-י

לא טור, סדרה. ניקח לדוגמה סדרה סופית כזו: 0³=0 1³=1 2³=8 3³=27 טור ההפרשים (בין כל מספר, לבין המספר הקודם) מספר 1 הוא: 1 7 19 טור ההפרשים מספר 2 הוא: 6 12 ההפרש מספר 3 הוא: 6 = !3 אם נתחיל מ-x כלשהו: ³(x+0) ³(x+1) ³(x+2) ³(x+3) ההפרש השלישי יהיה גם כן !3=6. או, אם x³ הוא האבר האחרון בסדרה, הסדרה תהיה: ³(x-3) ³(x-2) ³(x-1) ³(x-0) וגם ההפרש השלישי של סדרה סופית זו שווה !3. אפשר לכתוב את זה כך:

C(3,0)(x-0)³ - C(3,1)(x-1)³ + C(3,2)(x-2)³ - C(3,3)(x-3)³ = 3!​

עבור כל x, וזה נכון עבור כל חזקה n, לא רק 3.

 

[גיל14]

אחלה ../images/Emo127.gif

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo35.gif חידה

איך מוכיחים שההפרש ה-n שווה n עצרת עבור כל x ?

 

[1אברהם]

ניסיון

אם נתון פולינום p(x מדרגה n מהצורה

p(x) =an*x^n +an-1*x^n-1 +an-2 *x^n-2 + ...... a2*x^2 +a1*x +a0​

אז הפולינום החדש zzz q(x)=p(x)-p(x-1) zzz מקים א) q הוא פולינום עם דרגה n-1 ב) מקדם הדרגה הגבוהה ביותר של q הוא an*n לכן אם נתון סידרה של פולינומים מדרגה n

p(x), p(x+1), p(x+2), p(x+3) .....​

אז סידרת ההפרשים היא

q(x), q(x+1), q(x+2), q(x+3) .....​

דרגת q היא n-1 ומקדמה שווה למקדם של x^n בפולינום p כפול n אם נמשיך בתהליך , כל פעם תרד דרגת הפולינום ומקדמה המוביל יוכפל בדרגת הפולינום של הסידרה הקודמת ולכן אחרי n פעמים נקבל "פולינום" שהוא מספר קבוע ששוה ל an*n*(n-1)*(n-2)*...*1 כלומר zzz an*n! zzz ואם an=1 אז ההפרש הסופי הקבוע הוא n!

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo127.gif נראה לי הפתרון הפשוט ביותר ../images/Emo45.gif

 

[ןן גיל ןן]

זכרונו הקצר של הציבור..

שאלתי את החידה הזו לפני זמן מה. יש שם גם הוכחה בעזרת פונקציות יוצרות.