חידה.

[ילדה 4]

חידה.

בעיר מסויימת יש לכל אחד שני ילדים, בןבן בתבת או בןבת. מישהו אומר לך שיש לו בן, מה הסיכוי שילדו השני הוא גם בן? מישהו אומר לך שלבן שלו קוראים שלמה, מה הסיכוי שילדו השני הוא גם בן?

 

[טלמון סילבר]

אם הסבירות

להולדת הילד הראשון בן או בת שווה 50%, וכנ"ל גם בנוגע לילד השני, אז אם ידוע שיש לו לפחות בן אחד, אז יש שלוש אפשרויות עם אותה הסבירות: בן + בת בת + בן בן + בן והסבירות של האפשרות השלישית היא שליש. אם הוא אומר שלַבֶּן שלו קוראים איציק, עם ה' (ל') הידיעה, משמע יש לו בן אחד בלבד, והסבירוי שיש לו עוד בן שווה 0. אבל אם הוא אמר שיש לו בן בשם מוישה, אז יכולות להיות האפשרויות הבאות: מוישה + בת בת + מוישה מוישה + בן נוסף בן נוסף + מוישה והסיכוי שיש לו בן נוסף הוא 2/4 כלומר 1/2.

 

[עריסטו]

אני חולק על טלמון...

אי אפשר לענות, כי גם אם נניח שכל אדם מוסר דיווח נכון על אחד מילדיו אי אפשר לדעת לפי איזו אסטרטגיה אותו "מישהו" מחליט מה לומר - "יש לי בן" או "יש לי בת" - במקרה שיש לו בן ובת. למשל, אם אדם שיש לו שתי בנות אומר "יש לי בת", אך כל אדם אחר אומר "יש לי בן" אזי תשובתו של טלמון נכונה, אך לא מניחים הנחה כזו לגבי התנהגות אנשים - אין סיבה להניח שבן ובת אינם סימטריים. נראה לי שהגיוני יותר להניח (מכיוון שלא נתון אחרת) שאדם שיש לו שני בנים יאמר "יש לי בן", אדם שיש לו שתי בנות יאמר "יש לי בת", ואדם שיש לו בן ובת יאמר במחצית המקרים "יש לי בן" ובמחציתם "יש לי בת". במקרה זה אם מישהו אומר "יש לי בן" ההסתברות שילדו האחר הוא בן היא 1/2. הבהרה: נניח שהשאלה היתה "ראיתי את אחד מילדיו של אותו מישהו משחק כדורגל, וכשהתקרבתי התברר לי שזה בן. מה הסיכוי..." כאן ברור מדוע אי אפשר לענות על השאלה, כי לבן, יש להניח, יש הסתברות גדולה יותר לשחק כדורגל מאשר לבת. הסבר נוסף: לפי נוסחת הסתברות מותנית ההסתברות של B בהינתן A היא ההסתברות של המאורע "A וגם B" מחולקת בהסתברות המאורע A. כאן A = "מישהו אומר לך שיש לו בן", B = "ילדו השני גם הוא בן". אי אפשר לחשב את ההסתברות לפי נוסחת הסתברות מותנית - איננו יודעים את הסתברות המאורע "A וגם B" וגם לא את הסתברות המאורע A. אני מציע לנסח את השאלה אחרת: לא "מישהו אומר לך שיש לו בן, מה הסיכוי שילדו השני הוא גם בן?" אלא "למישהו יש בן, מה הסיכוי שילדו השני הוא גם בן?"