חידה

[טיקטי1]

חידה

החידה הפעם הולכת כדלקמן: "נבחר n כלשהו בין 1 ל 9. ונסתכל על קבוצת כל המספרים שניתן להרכיב מ n ספרות עוקבות מ-1 (כל התמורות של 12...n). לדוגמא אם בחרנו את n=3 אז הקבוצה מורכבת מהמספרים 123, 132, 213, 231, 312, 321." עכשיו נבחר k כלשהו קטן או שווה ל n. אני רוצה לדעת כמה מספרים מתוך הקבוצה שיצרנו בעזרת n שומרים על הכלל הבא: כל המספרים שמצד שמאל ל k קטנים ממנו. בדוגמא הקודמת אם נבחר את k=2 אז 123 מקיים את הנדרש כי 1 נמצא מצד שמאל והוא אכן מקיים 1<2. 213 גם מקיים את הנדרש כי אין שום מספר מצד שמאל ל k=2, המספר 312 לעומת זאת לא מקיים את הנדרש כי למרות ש-1 נמצא מצד שמאל ל k=2, הספרה 3 גם נמצאת משמאל ל k=2 והיא מפירה את הדרישה. הביטוי שאתם תמצאו צריך להיות תקף לכל n גדול או שווה ל-1 וקטן מ-9 ולכל k שקטן מ-n החידה נלקחה מ- http://www.tapuz.co.il/blog/viewEntry.asp?EntryId=32684

 

[טיקטי1]

עוד חידות

חידה א´ מצא את שלוש הספרות האחרונות במספר 7 בחזקת 999. כמובן מבלי לחשב את המספר עצמו. מחשבון Casio רגיל כמובן לא יכול להציג את המספר הגראנדיוזי הזה. חידה ב´ הוכח ש-6 מחלק את N אם ורק אם (שימו לב לדו הכיווניות של אם ורק אם) 6 מחלק את ספרת האחדות פלוס סכום שאר ספרות המספר כפול 4. לדוגמא - 1188 מתחלק ב-6 כי 1+1+8 כפול 4 יוצא 40, ועוד 8 שזה ספרת האחדות יוצא 48. 48 אכן מתחלק ב-6 ולכן המספר כולו, 1188, מתחלק ב-6. חידה ג´ מצא את כל ערכי n גדול או שווה לאחד שעבורם 1!+2!+3!+...+n! הוא ריבוע שלם. הן מאותו בלוג והכתובת של החידות האלה היא: http://www.tapuz.co.il/blog/viewEntry.asp?EntryId=32684

 

[1אברהם]

../images/Emo62.gif א

7 בחזקת 999 מסתים בספרות 143

 

[טיקטי1]

יפה מאד../images/Emo127.gif../images/Emo127.gif../images/Emo127.gif

 

[אמיר96]

יש הסבר?

 

[1אברהם]

הסבר

נסתכל על הסידרה שהיא 3 הספרות האחרונות של

a=7^n ( n=0,1,2,3,4,5,6,7.....)​

מסתבר שהסידרה מחזורית ב 20 , כלומר לכל n חיובי

a=a(n+20) כאשר לוקחים את 3 הספרות האחרונות​

ולכן מספיק לחשב את 7 בחזקת 19 ( באמצעות מחשבון למשל )כדי לדעת את 3 הספרות האחרונות של 7 בחזקת 999 .

 

[אמיר96]

יפה../images/Emo45.gif

טוב שהיא לא מחזורית ב 500...

 

[Jjack]

../images/Emo62.gif ב

z 10^nA1+10^(n-1)A2+…100A(n-1)+10An+C= z z [10^n-4]A1+[10^(n-1)-4]A2+…[100-4]A(n-1)+[10-4]An+ z z +4A1+4A2+…4A(n-1)+4An+C z רואים ששורה שניה כולה מתחלקת ב-6 כי כל איבר ע"י A הוא זוגי וגם מתחלק ב-3. לכן אם שורה ראשונה מתחלקת ב-6 אז גם שורה שלישית וההיפך - מ.ש.ל.

 

[טיקטי1]

תוכל בבקשה להסביר למה החסרת

4?

 

[Jjack]

תשובה לשאלה

השאלה הייתה שחוץ מספרת אחדות, שאר הספרות מחברים ומחפילים ב-4, לכן בשורה שניה אני מחסיר מכל ספרה חוץ מאחדות 4, ואחר כך, בשורה שלישית אני מחזיר את הספרה בחזרה, כך ששורה 2 + שורה 3 עדיין שוות לשורה 1. אפשר לקראת על ספרה ה-N שעשיתי z 10^nA1=[10^n-4]A1+4A1 z או, אם N=5, למשל, אז z 100000A1=99996A1+4A1 z האם OK?

 

[טלמון סילבר]

../images/Emo62.gif ניסיון ל-ג'.

1! מתאים 1! + 2! = 3 אינו מתאים 1! + 2! + 3! = 9 מתאים 1! + 2! + 3! + 4! = 33 אינו מתאים​

כל העצרות החל מ-!5 מתחלקות ב-10, ולכן בכל הסכומים הבאים ספרת היחידות תהיה 3, ולכן אינם יכולים להיות ריבוע של מספר שלם.

 

[Jjack]

../images/Emo127.gif

 

[רותם ע]

לדעתי ../images/Emo128.gif. ../images/Emo26.gif../images/Emo142.gif

סתם, אין לי מושג מה כתבת שם

אבל זה נראה מתוחכם

 

[טלמון סילבר]

מה לא ברור? הסבר מפורט:

1! = 1 2! = 1 * 2 = 2 3! = 1 * 2 * 3 = 6 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120​

מכיוון ש-!5 מכיל את המכפילים 2 ו-5, הוא מתחלק ב-10. גם כל הבאים אחרי 5 מכילים לפחות את המכפילים 2 ו-5, ולכן גם הם כֻּלָּם מתחלקים ב-10:

n! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * . . . * n מתחלק ב-10​

עכשיו נראה את הסכומים:

1! = 1 1! + 2! = 3 1! + 2! + 3! = 9 1! + 2! + 3! + 4! = 33 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153​

וגם בכל הסכומים הבאים הספרה האחרונה (ספרת היחידות) היא 3, כי יתווספו רק מספרים המתחלקים ב-10. השאלה היתה אלו מהסכומים האלו מהווים ריבוע של מספר שלם. מאלו שבדקנו - רק הראשון והשלישי. וכל הבאים אינם יכולים להיות ריבועים של מספרים שלמים, כי הספרה האחרונה שלהם שווה 3: אם הספרה האחרונה של מספר שלם כלשהו היא 0, אז הספרה האחרונה של הריבוע שלו היא 0. אם הספרה האחרונה של מספר שלם כלשהו היא 1, אז הספרה האחרונה של הריבוע שלו היא 1. אם הספרה האחרונה של מספר שלם כלשהו היא 2, אז הספרה האחרונה של הריבוע שלו היא 4. אם הספרה האחרונה של מספר שלם כלשהו היא 3, אז הספרה האחרונה של הריבוע שלו היא 9. אם הספרה האחרונה של מספר שלם כלשהו היא 4, אז הספרה האחרונה של הריבוע שלו היא 6. אם הספרה האחרונה של מספר שלם כלשהו היא 5, אז הספרה האחרונה של הריבוע שלו היא 5. אם הספרה האחרונה של מספר שלם כלשהו היא 6, אז הספרה האחרונה של הריבוע שלו היא 6. אם הספרה האחרונה של מספר שלם כלשהו היא 7, אז הספרה האחרונה של הריבוע שלו היא 9. אם הספרה האחרונה של מספר שלם כלשהו היא 8, אז הספרה האחרונה של הריבוע שלו היא 4. אם הספרה האחרונה של מספר שלם כלשהו היא 9, אז הספרה האחרונה של הריבוע שלו היא 1. כלומר, הספרה האחרונה של ריבוע של מספר שלם יכולה להיות רק 0, 1, 4, 5, 6 או 9, כלומר לעולם לא 3. כלומר פתרנו את החידה:

1! + 2! + 3! + . . . + n!​

יכול להיות ריבוע של מספר שלם רק כאשר n=1 או n=3.

 

[רותם ע]

../images/Emo45.gifאני לא מאמינה שהבנתי!!../images/Emo142.gif

וואו, איזה אושר

...סוף סוף אני מבינה פה פתרון הקשור במתמטיקה.. הממ אתה מורה למתמטיקה במקרה?...

 

[טלמון סילבר]

לגמרי לא

מורה, אבל יש לי סבלנות. להסביר לך עוד משהו?

 

[רותם ע]

בינתיים לא תודה../images/Emo140.gif../images/Emo142.gif

 

[טיקטי1]

אני לא אהיה כאן ב-5 ימים הבאים אז

תאשרו את התשובות אחד של השני (אים הן נכונות)

 

[n u t]

יוווווווו נכון!!! תהנה!!!!!!../images/Emo24.gif

ותחזור שזוף מתמיד

 

[1אברהם]

../images/Emo62.gif

n!/(n-k+1)​