../images/Emo62.gif פתרון מלא (לדעתי).
הערה-שאלה: אתה בטוח שרשמתָ נכון את השאלה? בכל אופן ארשום את הניתוח הבא. נתון: ישנם a אובייקטים מסוג A b אובייקטים מסוג B c אובייקטים מסוג C (a, b, c מספרים טבעיים). כאשר "נפגשים" שני אובייקטים מסוגים שונים, שניהם נעלמים ובמקומם נוצר אובייקט אחד מהסוג השלישי (השונה מהסוגים של השניים שנפגשו). כל עוד קיימים אובייקטים מסוגים שונים, התהליך נמשך. כאשר נותרו רק אובייקטים מסוג אחד, התהליך מסתיים. התהליך חייב תמיד להסתיים, כי המספר הכללי של האובייקטים פוחת ב-1 אחרי כל "פגישה". ומכיוון שאחרי כל "פגישה" נוצר אובייקט, כאשר התהליך מסתיים נשאר לפחות אובייקט אחד (לא יכול להיות שכולם ייעלמו). השאלה: מהם כל המצבים האפשריים עם סיום התהליך, ובמה זה תלוי? ובכן. אחרי כל "פגישה" לא משתנית
זוגיוּת ההפרש בין כמות האובייקטים של כל זוג סוגים. כלומר: המספרים a, b, c ישתנו אחרי כל "פגישה", אך הזוגיוּת של המספרים
a - b a - c b - c
תישאר תמיד קבועה. יכולות להיות שתי אפשרויות בלבד: 1. כל ההפרשים זוגיים. 2. הפרש אחד זוגי, ושני הפרשים אי-זוגיים. כלומר: הכמויות בשני סוגים כלשהם הן בעלי אותה זוגיוּת, והכמות מהסוג השלישי היא בעלת זוגיוּת שונה מהשניים האלו. נקרא לו: "הסוג בעל הזוגיוּת היוצאת-דופן". ובכן. יכולים להיעלם רק שני סוגים בעלי אותה זוגיוּת. כי ההפרש 0-0 הוא מספר זוגי. באפשרות הראשונה, כאשר כל ההפרשים זוגיים, יכול בעיקרון להיעלם כל זוג של סוגים, כלומר יכול להישאר אחרון כל אחד משלושת הסוגים. אינני מביא הוכחה מלאה של הנחה זו, אבל באמת לא קשה להוכיח אותה. בכל אופן, בסוג שנותר, יכול להיות רק מספר זוגי של אובייקטים (כי 0 מספר זוגי, וההפרשים תמיד זוגיים). לכן לא יכול להישאר אובייקט אחד בלבד. באפשרות השנייה, מכיוון שבסוף התהליך נשאר סוג אחד בלבד, זה חייב להיות הסוג בעל הזוגיוּת היוצאת דופן. ויכול להישאר רק מספר אי זוגי של אובייקטים מסוג זה. לא קשה להוכיח, שזה יכול להיות גם המספר 1. למשל: שתי "פגישות" עוקבות AB ו-AC מפחיתות ב-2 את a ומשאירות ללא שינוי את השאר. לכן אפשר בהדרגה להפחית את כל המספרים, עד קבלת מספרים קטנים שלא קשה לנתח. במקרה שלנו הסוג בעל הזוגיוּת היוצאת דופן הוא "אנשים אדומים", לכן בכלמקרה זה יהיה הסוג הנותר בתום התהליך, והכמות הנשארת תהיה בכל מקרה אי-זוגית, וכפי שהראו כמות זו יכולה להיות 1.
