חידה!

[טלמון סילבר]

מה 0 ?

 

[טלמון סילבר]

חידה!

האם קיים מספר טבעי, שאינו חזקה שלמה של 10, אשר הריבוע שלו מיוצג (בשיטת הספירה העשרונית!) ע"י הספרות 0 ו-1 בלבד? ואם כן, האם מספרם של מספרים כאלה הוא סופי? לי הפתרון לא ידוע.

 

[yatir]

זה מזכיר לי חידה אחרת שהיתה כאן

בפורום שיכולה לעזור לנו לפתור את זאתי. אם נוכיח שיש מספר ריבועי שספרותיו מסודרות (משמאל לימין) מהקטן לגדול, אז הוכחנו את החידה שלך....

 

[טלמון סילבר]

25, 16, 36, 49, 169, 289

 

[yatir]

תוספת + התקדמות

תוספת: שיהיו בהם את כל הספרות מ1 עד 9 התקדמות (קטנה): אתה יכול להוריד מהחיפוש את כל רצפית בעל אורך זוגי של אחדים...

 

[yatir]

התקדמות יותר גדולה:

אף רצף של אחדים הוא לא ריבוע שלם! כל רצף של אחדים הוא מהצורה של 4k+3, ואין ריבועים מהצורה זאת. (תוכיח!)

 

[אלוהים1980]

רעיון:

1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*7=49 8*8=64 9*9=81 לפי זה, ספרת היחידות יכולה להיות רק 1 או 9 (כי אחרת ספרת היחידות יוצאת שונה מאפס ומאחד). מה יכולה להיות ספרת העשרות?

 

[yatir]

רעיןץ יפה...

ספרות העשרות יכולות להיות רק 01

 

[yatir]

אם יש אחד...אז אין גם אינסוף

אם M^2=N, אז גם 100N, 10000N,... הם ריבועים שלמים

 

[טלמון סילבר]

אז ננסח, שחוץ מכאלה. אגב, אני לא

בטוח שהפתרון ידוע בכלל...

 

[yatir]

הוכחתי שלא קיים, (למרבה הפלא!)

יותר נוח לי לכתוב את זה באנגלית:

Let N be a square number satisfying our conditions. If N ends in a zero it must also end in 2 zeros, so lets divide it by 100, and do so until it ends in 1. N-3 must end in either 08 or 98, both divisible by 4...So N=4k+3 meaning that it can´t be a square number, hence a contradiction!​

 

[טלמון סילבר]

98 לא מתחלק ל-4. אגב, בהחלט יכול

להיות שאכן לא קיים. לא ידוע. תוכניונת פשוטה שרצה על כל המספרים הטבעיים הגדולים מ-1 ומסתיימים ב-1 או 9, עד 10000000, הראתה שאף לא אחד מהריבועים שלהם מיוצג באפסים ויחידות בלבד. אבל זה כמובן לא אומר שום דבר.

 

[yatir]

נכון! טעות טיפשית שלי...

 

[yatir]

משהו שאני מכיר מצא הוכחה יפה לחידה!

התשובה היא לא! ההוכחה דורשת ידע בקונגרונציות (congruences)