חידה

[jaXon]

נכון. הכוונה ל"או" לא אקסלוסיבי

 

[טלמון סילבר]

מותר להשתתף?

מסכים עם ההגדרה: לא קשה מדי, אבל נחמדה.

 

[טלמון סילבר]

מזכירה קצת את חידת 4 הנקודות

מאולימפיאדת חננדון. זוכרים? כל הנקודות במישור צבועות בשני צבעים, וצריך להוכיח שקיימות 4 נקודות מאותו צבע, שאחת מהן היא מרכז הכובד של האחרות.

 

[איגור קרסיק]

באמת?

החידה הזו די [של jaxon] די קלה... אין בה טריקים מיוחדים...

 

[טלמון סילבר]

כתוב את הפיתרון שלך,

נראה אם הוא דומה לפתרון שלי, ואח"כ ניזכר בחידת 4 הנקודות.

 

[איגור קרסיק]

בסדר

נניח והאנשים הם: 1,2,3,4,5,6 נניח בשלילה שלא קיימים 3 אנשים שמכירים זה אתזה וכן לא קיימים 3 אנשים שזרים זה לזה. ניקח איש כולשהו [נסמנו ב-1]. אם 1 מכיר 0 אנשים,אז ניקח את 2,3,4. לפי הנחתינו 2 מהם לא מכירים זה את זה. ולכן 1 ושני האנשים הנ"ל זרים זה לזה - סתירה. אותו כנ"ל למקרה שהוא מכיר איש אחד או 2 אנשים. אם מכיר 3 או יותר, אז נסתור זאת ע"י שניצור קבוצה בת 3 אנשים שמכירים זה את זה.

 

[טלמון סילבר]

כמובן אין הבדל מהותי

בין הדרך שלך ושלי שהיא: מתוך האנשים 2,3,4,5,6 ישנם לפחות שלושה מכירים את 1 או זרים לו. נניח שישנם שלושה מכירים אותו. אם שניים כלשהם מהם מכירים זה את זה, אז יחד עם 1 הם מהווים שלישיית מכירים, אם לא אז יש לנו שלישיית זרים! כנ"ל להיפך, כאשר ישנם שלושה זרים ל-1. אם שניים כלשהם מהם זרים זה לזה, אז יחד עם 1 הם מהווים שלישיית זרים, ואם שלושתם מכירים אז... בסדר, שם היה צריך לבנות משהו, אבל יש דמיון חיצוני: לקחנו 3 נקודות מאותו צבע, אח"כ לקחנו נקודה רביעית, חמישית, שישית ושביעית, ואם אחת מהן הייתה בצבע של 3 הראשונות, אז קיבלנו רביעייה מאותו צבע, ואם אף לא אחת מהן התאימה, אז 4 הנקודות החדשות הן מאותו צבע - הצבע השני!

 

[freedom rider]

הרחבה וסיפור

אם רוצים לכנס קבוצה של אנשים ולהבטיח שיהיו שם לפחות 4 אנשים שמכירים זה את זה או 4 אנשים שלא מכירים זה את זה - מה הגודל המינימלי של הקבוצה? השאלה עדיין פתוחה - מי שימצא תשובה - זה שווה פרסום! מה שידוע הוא הטווח של התשובה, כלומר ידועים שני מספרים, m ו-n כך שהתשובה נמצאת בינהם (אני לא זוכר אותם כרגע - אבל אם מישהו ממש מעוניין - אני יכול לברר בערב כשאהיה בבית). מה שכן, התשובה היא באיזור של 40 (פלוס מינוס). והנה הסיפור: במחקר חינוכי שנערך בשנות הששים בהונגריה התברר כי בכל כיתת בית ספר יש "קליקה" או "אנטי-קליקה". קליקה היא קבוצה של 4 תלמידים לפחות, שכל אחד מהם מגדיר את שאר חברי הקבוצה כחברים שלו (כלומר בקליקה כולם חברים של כולם). אנטי-קליקה היא קבוצה של 4 תלמידים לפחות, שכל אחד מהם טוען כי שאר חברי הקבוצה אינם חברים שלו (כלומר באנטי-קליקה כולם לא-חברים של כולם). בעקבות התגלית הזו הופיע גל של מאמרים פסיכולוגיים וסוציולוגיים שניסה להסביר את התופעה.... עד שבא פול ארדש והוכיח כי כל קבוצה שגודלה עולה על מספר מסויים (לא זוכר איזה) מכילה קליקה או אנטי קליקה, וגודל הכיתות שהיה נהוג בהונגריה היה מספיק גדול כדי להבטיח קיום קליקה או אנטי-קליקה בכל כיתה. עם זאת, גודל הקבוצה המינימלי המבטיח זאת עדיין לא ידוע, כאמור.

 

[טלמון סילבר]

1. ממש לא מזמן, בדף 2 או 3, יש

הרבה חידות, למשל על חוצי הזוויות ועל x^y. 2. חידות קודמות: מהו אלגוריתם "משחק נים"? חידת 4 הנקודות. מכפלת צלעות מרובע. שלושת דוברי אמת-שקר-ועוד-משהו (שדרך אגב לא נפתרה).

 

[איגור קרסיק]

בקשה

טלמון, בבקשה כתוב את חידת שולשת האנשים - דובר אמת,שקר ואקראי מחדש.

 

[טלמון סילבר]

חידת השלושה.

לפניך שלושה: אחד מהם דובר אמת, אחד דובר שקר, אחד כמו שכתבתָ אקראי, עונה מה שבא לו. [הערה שולית: פעם אמרתי למישהו, שהוא יענה בצורה שתקשה עליך ביותר לפתור את החידה, אז אמרו שאם כך אפשר לבנות על זה. אבל נעזוב את "הפילוסופיה" הזאת.] החידה היא איך אפשר לזהות מיהו מי ב-3 שאלות מסוג "כן או לא", כאשר כל שאלה מופנית לאדם אחד בלבד? חידה זו הובילה אותי להכרות עם הספר המגניב "מספר חזק". חבר שסיפרתי לו את החידה, אמר לי שיש ספר כזה, והיא נמצאת שם. וכך הגעתי להכרת הספר. אבל הפתרון שבספר, עם טבלה מפורטת של כל האפשרויות, נראה לי פחות מעניין מהפתרון שאני מצאתי (לפני הכרת הספר). נדמה לי שהחידה מגַרדנֶר. אגב, ראיתי בפורום הרבה חידות מהספר "מספר חזק", כמו כדורי הזכוכית, הפירטים, חיבור 500 זוגות נקודות שונות-צבעים וכו´, ואני הבאתי מהספר את החידה על הריבועים "המיותרים" (כי לא ידעתי שהיא כבר היתה בפורום, בצורה קצת שונה) ו...את חידת הדוב הלבן.

 

[AltElAntE]

מצטער!

חברים אני ממש מצטער על חוסר שיתוף הפעולה שלי לאחר שנתם לי שאלות, אבל זה היה מקרה חד פעמי של התעוררות לפני שעה מזמן הכתיבה של הודעה זו... אז, לכל המעוניין, הוכיחו שבפונקציה ריבועית הקודקוד הוא ציר הסימטרייה (בלי להסתמך על משפט וייטה).

 

[yatir]

צריך להראות ש

f(-b/2a+C)=f(-b/2a-C)​

לכל C. איך עושים את עם וויטה?

 

[טלמון סילבר]

איך "קודקוד" יכול להיות "ציר"?

אפשר לנסח את השאלה בצורה מדוייקת יותר?

 

[AltElAntE]

ניסוח:

ציר ה y העונה לערך ה-x של קודקוד הפרבולה (כלומר אם הקודקוד הוא 2,0 אז כל גרף ה-y כאשר x=2 2,1 2,2 2,3 וכו´

 

[טלמון סילבר]

~ ~ ~ ~ ~

נתונה פונקציה:

y = ax^2 + bx + c a ≠ 0​

צריך להוכיח שגרף הפונקציה סימטרי ביחס לישר המקביל לציר y ועובר דרך קודקוד הפרבולה. פתרון.

y = a(x^2 + 2(b/2a)x + b^2/4a^2 + c/a - b^2/4a^2) y = a(x + (b/2a))^2 + c - b^2/4a​

לכן המינימום או המקסימום היחידי של הפונקציה (תלוי בסימן של a) מושג כאשר:

x + (b/2a) = 0 x = -(b/2a)​

ואז:

(x - (b/2a) + D)^2 = (x - (b/2a) - D)^2 = D^2​

וגם ערך הפונקציה כולה שווה בשתי נקודות אלה. אפשר כמובן להציג הכל בעזרת הנגזרת (למציאת נקודת הקיצון) והצבה פשוטה של שני ערכים סימטריים של x במשוואת הפונקציה.

 

[טלמון סילבר]

תיקון "טעות דפוס":

בשורת הקוד התחתונה צריך להיות בכל מקום:

(x + (b/2a) ...​

 

[איגור קרסיק]

חידה

להוכיח שהמקום הגיאומטרי של כל הנקודות שרואות אליפסה קנונית ב-90 מעלות הוא מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו שורש [a^2+b^2[ כאשר 2a הוא אורך צירה הגדול ו-2b הוא אורך צירה הקטן. אליפסה קנונית היא אליפסה שמוקדיה נמצאים על ציר x ומרוחקים מרחק שווה מציר y.

 

[טלמון סילבר]

הוא כולל לפחות את 4 הנקודות

(±a, ±b)​