חידה

[ןן גיל ןן]

חידה

יהיו a,b,c מספרים שלמים המקיימים a^2+b^2=c^2. נגדיר d=(a+b+c)^2/2. הוכיחו כי הביטוי

2(d-a^2)(d-b^2)​

הוא ריבוע של מספר שלם.

 

[גיל14]

פתרון מכוער

כידוע, כל שלשה פיתגוראית כנ"ל מקיימת

a = 2pq b = p²-q² c = p²+q²​

עבור p,q שלמים כלשהם. אם מציבים, מקבלים שהביטוי שרשמת שווה

4p²(p²+2pq-q²)²(q+p)²​

וזה בבירור ריבוע של מספר שלם.

 

[Renatius Cartesius]

למה מכוער???

 

[ןן גיל ןן]

../images/Emo127.gif

זה לא פתרון מכוער (למעשה הפתרון שלי מכוער ממנו)

 

[עריסטו]

מאוד מכוער ../images/Emo3.gif

הוא הוכיח רק עבור שלשה פרימיטיבית.

 

[clocker]

לא קריטי

אם השלשה לא פרימטיבית, קיים איזה שהוא k כך ש a'=ka b'=kb c'=kc כך שהטגים הם שלשה פרמיטיבית. ויוצא שהביטוי שרשום עבור השלשה a,b,c הוא בדיוק k בריבוע כפול אותו הביטוי עם 'a',b',c

 

[גיל14]

../images/Emo45.gif ואידך פירושא - זיל גמור

 

[גיל14]

אתה מוזמן לפרסם אותו.

מאיפה החידה? אולי להם יש פתרון יותר טוב.

 

[ןן גיל ןן]

ובכן,

"הם" זה אני- אני המצאתי את החידה, ליתר דיוק קודם גיליתי את התופעה וחיפשתי לה הסבר. גם אני השתמשתי ב- p ו- q ואז קיבלתי מכפלה של שני פולינומים הומוגניים ממעלה רביעית בשני המשתנים p ו- q, ואז ביטאתי אותם כפולינומים במשתנה אחד t=p/q (כפול בחזקה זוגית של q)- ומכאן ניתן היה לסיים על ידי פירוק לגורמים של פולינומים במשתנה אחד.