חידה(קלה) בסטטיסטיקה

[חסוי וחסה]

חידה(קלה) בסטטיסטיקה

המאורעות A1,A2,....Ak הם מאורעות בת"ל כך ש p(Ak)=pk עבור k=1..n מצא את ההסתברות p, שאף אחד מהמאורעות לא יקרה,והראה כי:

p<=e^-sum[pk,k=1..n]​

 

[גיל14]

מן הסתם (הוכחה חסרה)

ההסתברות שאף אחד מהמאורעות לא יקרה היא

z (1-p1)(1-p2)...(1-pk)​

וזה p. נקח לן על שני אגפי האי שיוויון וצ"ל

sum ln (1-pk) ≤ - sum pk​

את זה אני מניח שאפשר לעשות עם מעט טיילור: טור טיילור עבור ln(1-x) zz מתכנס ברדיוס 1 לא כולל הקצוות, והוא שווה -

(-sum x^n/n)​

לכן עבור האיבר הראשון בסכום נקבל את pk, ואם נסכום את כל הטורים (חיוביים -> מתכנסים בהחלט -> מותר לשנות סדר) נקבל שהאיבר באגף הימני של האי-שיוויון מצטמצם עם האיברים הראשונים בסכום, ונשאר לנו שסכום של מספרים שליליים קטן מ0, שזה ברור.