חידה קטנה

[hitchkok]

חידה קטנה

אני מניח שיש לזה תשובה, אני לא יודע מה היא, אז תשברו את הראש על זה. יש לנו n אנשים שעומדים בתור שהמקומות בו ממוספרים במספרים 1,2,3,...,n. האנשים האלה ממוספרים במספרים 1,2,3,...,n. נגדיר "כמות שימחה" (נסמן ב h) של אדם ככה: ההפרש בין המקום שלו בתור למספר שלו כלומר (מקום בתור נסמן בp מספר של האדם נסמן בk)

h=p-k​

"כמות שימחה" יכולה להיות גם שלילית, אך לא שבר. החידה: הוכח או הפרך: ישנו סידור כלשהו בו סכום "כמויות השימחה" שונה מאפס.

הכיוון שאני חשבתי עליו, אם נוכל להוכיח כי החלפה בין שני אנשים אינה משנה את סכום כמויות השימחה, וכי ממצב מסוים אפשר להגיע לכל המצבים האפשריים אך ורק באמצעות החלפות בין שני אנשים, הפרכנו את הטענה.

 

[טלמון סילבר]

כנראה פספסתי משהו?

נשתמש בנוסחה: h=p-k ונחבר את ה-h-ים של כל האנשים. האם היא לא שווה בסופו של דבר ל: (סכום כל ה-p-ים) פחות (סכום כל ה-k-ים) ? איך זה יכול להיות שונה מ-0?

 

[hitchkok]

כן, לקח לי כמה זמן עד שראיתי

שזה די טריוויאלי. ברגע שראיתי שקל להוכיח שהחלפה של שני אנשים לא משנה כלום, ראיתי שאפשר להכליל את זה בדיוק בדרך שלך. אגב, יש לזה השלכות מרחיקות לכת על האתיקה של עקיפה בתור.

 

[rainbow16]

לדעתי... ../images/Emo58.gif

אם כמות שמחה מוגדרת ככה:

h=p-k​

ונרצה לחשב את סכום כל הhים (נקרא לו H), אז בעצם זה יתקזז ותמיד יהיה 0. למה? דבר ראשון, בחלק של הp, ברור שלא משנה איזה k יש לכל אדם, יש בכללי את כל הpים, מ1 עד n [כי הרי כל המקומות תפוסים! לא יהיה מקום לא מאוייש]. בk גם כן ברור שיהיה את כל הkים מ1 עד n [כי הרי אלא אם מישהו מהאנשים הגיע, ברור שכולם שם ולכן יהיה את כל המספרים!]. ואז הסכום בסוף ככה:

H=(1+2+...+n)-(1+2+...+n)=0​

לכן אין סידור כלשהו שבו "כמות השמחה" שונה מ0. הטענה הופרכה. אבל זה רק לדעתי

 

[1ca1]

אתה צודק בכיוון שלך

למרות שכמובן הראו דברים פשוטים יותר להפרכה נניח שני אנשי עומדים במקומות i,j אז

Hi=Pi-Ki Hj=Pj-Kj סכומם הוא כמובן Hi+Hj=Pi-Ki+Pj-Kj=Pi+Pj-(Ki+Kj) כעת נחליף בין המקומות i,j ונקבל כין Hi=Pi-Kj Hj=Pj-Hi אבל Hi+Hj=Pi-Kj+Pj-Ki=Pi+Pj-(Ki+Kj) לכן החלפה של 2 אנשים כלשהם (פרמוטציה) לא תשנה את הסכום ולכן הפרכנו את הטענה (סה"כ נקבל סכום על כל P1+...+Pn=K1+...+Kn=0)​

 

[rainbow16]

המממ...

זה לא ש:

P1+...+Pn=K1+...+Kn=0​

זה:

(P1+...+Pn)-(K1+...+Kn)=0​

כי הרי כל p,k>0.

 

[1ca1]

נכון צודק

התכוונתי ש

P1+...+Pn=H1+...+Hn ולא אפס זה שווה כמו ל 1+...+n=0.5n(n+1)=0.5n^2+0.5n מסכום סדרה חשבונית אבל זה ממש לא משנה... הרעיון הראשי הועבר אני מניח כי לא שאלת עליו ​

 

[rainbow16]

כן.. חח... הרעיון הועבר ../images/Emo13.gif

ועוד פעם... ואם:

P1+...+Pn>0​

וגם:

H1+...+Hn=0​

אז הם לא שווים... נראה לי מה שבכלל התכוונת להגיד זה ש:

P1+...+Pn=K1+...+Kn​

ולא =0 כמו שהוספת בטעות....